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用向量怎么證明推導(dǎo)正弦定理
正弦定理是一個(gè)不錯(cuò)的數(shù)學(xué)定理，這該怎么用向量來(lái)證明呢？下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的用向量證明正弦定理內(nèi)容，希望大家喜歡。
用向量證明正弦定理事例1
如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C
由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·AC+CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
用向量證明正弦定理解答
記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接著得到正弦定理
其他
在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。
用向量叉乘表示面積則 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB
=> absinC = bcsinA (這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)
=> a/sinA = c/sinC
2015-7-18 17:16 jinren92 | 三級(jí)
記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理 其他步驟2. 在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,
正弦定理定義
正弦定理(The Law of Sines)是三角學(xué)中的一個(gè)基本定理，它指出“在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R為外接圓半徑)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式。一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解、無(wú)解三種情況，可參考三角形性質(zhì)、鈍角三角形性質(zhì)進(jìn)行判斷。
正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。
一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
1、在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域：
已知三角形的兩角與一邊，解三角形。
已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角，解三角形。
運(yùn)用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
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