比較法證明不等式的過程

　　比較法是數(shù)學(xué)中一個常見的方法，那這個方法會怎么證明不等式呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的比較法證明不等式內(nèi)容，希望大家喜歡。

　　比較法證明不等式方法一

　　.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

　　(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的'和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)��?shù)式時一般使用差值比較法。

　　(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。

　　2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?rdquo;，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。

　　a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/2

　　因a^a*b^b=(ab)^ab,

　　又ab>a+b/2

　　故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

　　已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.

　　用極限法取2或-2，結(jié)果大于等于-4，因?qū)儆?-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結(jié)果就只能大于-4

　　下面這個方法算不算“比較法”啊?

　　作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4

　　構(gòu)造函數(shù) M = f(c) = (a+b)c + ab+4

　　這是關(guān)于 c 的一次函數(shù)(或常函數(shù))，

　　在 cOM 坐標系內(nèi)，其圖象是直線，

　　而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因為 a<2, b<2)

　　f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因為 a>-2, b>-2)

　　所以 函數(shù) f(c) 在 c∈(-2, 2) 上總有 f(c) > 0

　　即 M > 0

　　即 ab+bc+ca+4 > 0

　　所以 ab+bc+ca > -4

　　比較法證明不等式方法二

　　設(shè)x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

　　(x-1)²≥0

　　(2y-1)²≥0

　　x²-2x+1≥0

　　4y²-4x+1≥0

　　x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

　　x²+4y²+2≥2x+4x

　　除了比較法還有：

　　求出中間函數(shù)的值域：

　　y=(x^2-1)/(x^2+1)

　　=1-2/(x^2+1)

　　x為R，

　　y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

　　所以有：

　　-1<=y=1-2/(x^2+1)<1

　　原題得到證明

　　比較法：

　�、僮鞑畋容^，要點是：作差——變形——判斷。

　　這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

　　根據(jù)a-b>0 a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

　�、谧魃瘫容^，要點是：作商——變形——判斷。

　　這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

　　當(dāng)b>0時，a>b >1。

　　比較法是證明不等式的.基本方法，也是最重要的方法，有時根據(jù)題設(shè)可轉(zhuǎn)化為等價問題的比較(如冪、方根等)

　　綜合法是從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法。

　　數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本知識

　　數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟和使用范圍

　　(1)在數(shù)學(xué)里，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結(jié)論，那么結(jié)論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法(通常也叫枚舉法)如果考察的只是某件事的部分情況，就得出一般結(jié)論，這種歸納法叫完全歸納法.這時得出的結(jié)論不一定可靠。數(shù)學(xué)問題中，有一類問題是與自然數(shù)有關(guān)的命題，因為自然數(shù)有無限多個，我們不可能就所有的自然數(shù)一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就部分自然數(shù)進行驗證所得到的結(jié)論，是不一定可靠的

　　例如一個數(shù)列的通項公式是an(n25n5)2

　　容易驗證a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出結(jié)論——對于任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是錯誤的.

　　事實上，a5=25≠1.

　　因此，就需要尋求證明這一類命題的一種切實可行、比較簡便而又滿足邏輯嚴謹性要求的新的方法——數(shù)學(xué)歸納法.

　　(2)數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地說，多米諾骨牌游戲是遞推思想的一個模型，數(shù)學(xué)歸納法的基本原理相當(dāng)于有無限多張牌的多米諾骨牌游戲，其核心是歸納遞推.

　　一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用一下兩個步驟：(1)證明當(dāng)n=n0(例如n0=1或2等)時命題成立;

　　(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN，且k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于不小于n0所有自然數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.

　　自然數(shù)公理(皮亞諾公理)中的'“歸納公理”是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明恰是驗證這條公理所說的兩個性質(zhì).數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與自然數(shù)n有關(guān)的命題.這里的n是任意的正整數(shù)，它可取無限多個值.

　　附錄：下面是自然數(shù)的皮亞諾公理，供有興趣的同學(xué)閱讀.

　　任何一個象下面所說的非空集合N的元素叫做自然數(shù)，在這個集合中的某些元素a與b之間存在著一種基本關(guān)系：數(shù)b是數(shù)a后面的一個“直接后續(xù)”數(shù)，并且滿足下列公理：

　�、�1是一個自然數(shù);

　�、谠谧匀粩�(shù)集合中，每個自然數(shù)a有一個確定“直接后續(xù)”數(shù)a’;

　�、踑’≠1,即1不是任何自然數(shù)的“直接后續(xù)”數(shù);

　�、苡蒩’ =b’推出a=b,這就是說，每個自然數(shù)只能是另一個自然數(shù)的“直接后續(xù)”數(shù);

　�、菰O(shè)M是自然數(shù)的一個集合，如果它具有下列性質(zhì)：(Ⅰ)自然數(shù)1屬于M,(Ⅱ)如果自然數(shù)a屬于M，那么它的一個“直接后續(xù)”數(shù)a’也屬于M，則集合M包含一切自然數(shù).

　　其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù).

　　(3)數(shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，但是，并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.

　　例如用數(shù)學(xué)歸納法證明(1+1)n(n N)的單調(diào)性就難以實現(xiàn).一般來說，n

　　從k=n到k=n+1時，如果問題中存在可利用的遞推關(guān)系，則數(shù)學(xué)歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難.

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