構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式
設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1(兩個(gè)積分都是在0-1上的積分)，求證存在一點(diǎn)X∈[0,1]使∣f(x)∣>4
反證法
證明：
∵∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1
∴∫[x-(1/2)]f(x)dx=∫xf(x)dx-(1/2)∫f(x)dx=1
設(shè)在[0,1]上處處有|f(x)|<4
則∫[x-(1/2)]f(x)dx<=∫|[x-(1/2)]f(x)|dx
<4∫|x-(1/2)|dx (積分區(qū)間[0,1])
=4*{∫[(1/2)-x]dx+∫[x-(1/2)]dx} (積分區(qū)間分別為[0,1/2]和[1/2,1])
=4*{-(1/2)[0-(1/2)^2]+(1/2)[(1/2)^2-0]
=4*(1/2)(1/4+1/4)
=1
即∫[x-(1/2)]f(x)dx<1，與∫[x-(1/2)]f(x)dx=1矛盾
設(shè)在[0,1]上處處有|f(x)|=4
∵f(x)在[0，1]上連續(xù)
∴f(x)在[0，1]上恒等于4
或f(x)在[0，1]上恒等于-4
顯然與∫f(x)dx=0矛盾
故以上兩個(gè)假設(shè)均不成立。
∴必存在一點(diǎn)X∈[0,1]使∣f(x)∣>4
原不等式等價(jià)于
ln(b/a)>2(b/a-1)/(b/a+1)
由于b>a>0，令b/a=x，x>1
不等式化為lnx>2(x-1)/(x+1)
即lnx>2-4/(x+1)
建立輔助函數(shù)f(x)=lnx+4/(x+1)，x>1
f'=1/x-4/(x+1)^2=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]
=(x-1)^2/[x(x+1)^2]>0
所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x>1時(shí)
f(x)>f(1),而f(1)=2
所以lnx+4/(x+1)>2
原不等式成立!
令f(x)=ln(x/a)-2(x-a)/(x+a)，a>0，x>0，
則f'(x)=1/x-4a/(x+a)^2=[(x-a)^2]/[x(x+a)^2]，
當(dāng)x>a時(shí)，總有f'(x)>0，所以f(x)在[a,+∞)上單調(diào)增加，
當(dāng)b>a時(shí)，總有f(b)>f(a)=0，即ln(b/a)>2(b-a)/(b+a).
你那個(gè)符號(hào)我打不出來(lái)，就用c代替了埃設(shè)F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)。
情況1：f(x)恒大于0。要證的是：∫(上c下a)f(x)dx=3∫(上b下c)f(x)dx�！鶩(c)-F(a)=3F(b)-F(c)�！鶩(c)=[3F(b)+F(a)]/4。因?yàn)閒(x)單調(diào)遞增，易知F(x)也是單調(diào)遞增的。則容易得到F(a)<[3F(b)+F(a)]/4
f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，證明當(dāng)x屬于(0,1)時(shí)，x*[F(1)-F(0)]<=F(x)-F(0)
這個(gè)題目有問(wèn)題，你所說(shuō)的這種情況還要保證f(x)的2階導(dǎo)數(shù)小于0!你可以把X移過(guò)去這樣兩邊就是斜率的表達(dá)式， 可以作圖觀察，在圖是凹的情況下不成立，在凸的情況下成立!在凸的情況下，你可以令G(X)=(F(X)-F(0))/X 然后對(duì)GX求導(dǎo)通過(guò)GX的單調(diào)性證明。
【擴(kuò)展閱讀篇】
用文字記載一個(gè)星期來(lái)的自己的思想、學(xué)習(xí)、生活情況的文字記錄。
它有別于“流水賬”，日記，在于流水賬是有什么就記錄什么，不需要作任何修飾和認(rèn)識(shí)的升華，而且內(nèi)容不限，一周之內(nèi)可以記錄您每一天的任何事情。而周記就是：每周一次，并且對(duì)自己的生活學(xué)習(xí)思想認(rèn)識(shí)有一定的升華。 周記是對(duì)個(gè)人和某個(gè)團(tuán)體一周的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一周里讓你有所感觸的事。
編輯本段作用
從學(xué)生角度來(lái)說(shuō)，周記用來(lái)了解學(xué)生的思想動(dòng)態(tài)，學(xué)習(xí)情況，答疑解惑，并通過(guò)周記的形式而置一些跟教育主題有關(guān)的主題作文，提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)，從而在全班范圍內(nèi)形成正確、積極、健康的輿論環(huán)境，并為主題班會(huì)準(zhǔn)備材料，提高同學(xué)們參與的積極性�！�
從老師的角度來(lái)說(shuō)，周記用來(lái)回顧一周的得失，提出經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，讓班主任對(duì)班上情況有一個(gè)更加詳細(xì)和全面的了解，提高工作的針對(duì)性和準(zhǔn)確性。老師除了用來(lái)了解同學(xué)一周發(fā)生的事情外，還用來(lái)鍛煉同學(xué)的文章水平，使同學(xué)文章水平得以提高。
編輯本段格式
周記的題目(寫作范圍：讀后感;見聞;趣事;數(shù)學(xué)周記......)
1.記事
2.自評(píng)(優(yōu)，缺)
3.解決措施
4.下周計(jì)劃
5.自己的所見所聞所感
其實(shí)周記并沒有一種標(biāo)準(zhǔn)的格式，只需要同學(xué)們每周把自己的所看到的、聽到的、想到的、經(jīng)歷的東西記下來(lái)，形成的文字片斷或一篇文章，一周寫一則就可以了。
編輯本段怎么寫周記
不少同學(xué)又開始問(wèn)了，周記怎么寫?小學(xué)初中周記開頭怎么寫?
如果是一個(gè)片斷，將事情寫清、將要表達(dá)的意思表達(dá)完整就行了，當(dāng)然，時(shí)間充裕，你可以將前因后果，你的`想法補(bǔ)充完整，形成一篇文章。不論無(wú)論，周記沒有什么特殊規(guī)定的格式，跟我們平時(shí)說(shuō)話寫文章一樣，要求就是條理清楚地說(shuō)清一件事、一個(gè)想法。
周記的關(guān)鍵是要真，真事、真情、真想，不要虛構(gòu)。用力表達(dá)你正經(jīng)歷的、正思考的事，對(duì)提高你的寫作能力是有幫助的，不要當(dāng)作負(fù)擔(dān)，也不要覺得有任何壓力，因?yàn)檎娴模灰帕幸幌戮托辛恕?/p>
同時(shí)，周記交給老師后，也可讓老師來(lái)了解你的生活、你的想法，或許對(duì)你有幫助。
去年也談過(guò)周記怎么寫，轉(zhuǎn)到下面，大家再看看。
老師布置了周記作業(yè)，怎么寫呢?許多同學(xué)發(fā)了愁。
其實(shí)周記也好，日記也好，都是要寫一段時(shí)間內(nèi)印象最深的事。周記就是本星期內(nèi)的事。
回想一下這個(gè)星期發(fā)生了什么，在學(xué)習(xí)上有什么問(wèn)題，班級(jí)里有什么新鮮事，和朋友老師間關(guān)系如何，這些都可以寫，和日記相比周記可以寫的內(nèi)容更多了，需要突出一兩個(gè)重點(diǎn)。
如果大腦里立刻就想起一二件事情，記憶深刻，那么恭喜，你就有材料了，將它們的前因后果，事情經(jīng)過(guò)，個(gè)人感想寫清楚吧。
有人會(huì)問(wèn)：不好意思，一想到過(guò)去的幾天，我印象里只記得吃了一次大餐，或者只記得被老師罵了一頓，或者跟同學(xué)鬧別扭心里不爽，這些都沒有重要意義，怎么能寫呢?告訴你，既然你想到了，就說(shuō)明是值得寫的。有意義的事情，不一定非得是意義重大，思想崇高，自己的生活瑣事，也是值得一寫的，只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細(xì)小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子，串起了我們的歡笑，串起了我們的憂愁，串起了我們的無(wú)聊，引領(lǐng)著我們一天天，不知不覺地在長(zhǎng)大。
更有一些同學(xué)說(shuō)，這個(gè)周最無(wú)味，什么也沒有發(fā)生，沒什么可寫的。再想想，再想想，多個(gè)心眼，仔細(xì)觀察，你會(huì)找到的。
【構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式】相關(guān)文章：
構(gòu)造函數(shù)證明不等式04-10
函數(shù)法證明不等式04-10
《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)11-26
PHP類與構(gòu)造函數(shù)05-01
函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)課教案11-25
java構(gòu)造函數(shù)調(diào)用技巧11-03
函數(shù)極限證明04-07