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必修三中的最小二乘法

　　這種使用均方誤差作為損失，并求得損失最小值的方法就叫做最小二乘法線性模型相信很多人遇到最小二乘法是在高中數(shù)學(xué)必修三里，那么讓小編來(lái)為大家介紹一下什么最小二乘法以及二乘法的運(yùn)用和案例。

　　什么是最小二乘法

　　最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問(wèn)題也可通過(guò)最小化能量或最大化熵用最小二乘法來(lái)表達(dá)。

　　最小二乘法原理

　　最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。

　　利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。

　　最小二乘法還可用于曲線擬合。

　　其他一些優(yōu)化問(wèn)題也可通過(guò)最小化能量或最大化熵用最小二乘法來(lái)表達(dá)。

　　示例：數(shù)據(jù)點(diǎn)(紅色)、使用最小二乘法求得的最佳解(藍(lán)色)、誤差(綠色)。

　　某次實(shí)驗(yàn)得到了四個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)：...(右圖中紅色的點(diǎn))。我們希望找出一條和這四個(gè)點(diǎn)最匹配的直線，即找出在某種“最佳情況”下能夠大致符合如下超定線性方程組的和：

　　最小二乘法采用的手段是盡量使得等號(hào)兩邊的方差最小，也就是找出這個(gè)函數(shù)的最小值：

　　最小值可以通過(guò)對(duì)分別求和的偏導(dǎo)數(shù)，然后使它們等于零得到。

　　如此就得到了一個(gè)只有兩個(gè)未知數(shù)的方程組，很容易就可以解出：

　　也就是說(shuō)直線是最佳的。

　　人們對(duì)由某一變量或多個(gè)變量……構(gòu)成的相關(guān)變量感興趣。如彈簧的形變與所用的力相關(guān)，一個(gè)企業(yè)的盈利與其營(yíng)業(yè)額，投資收益和原始資本有關(guān)。為了得到這些變量同之間的關(guān)系，便用不相關(guān)變量去構(gòu)建，使用如下函數(shù)模型，

　　個(gè)獨(dú)立變量或個(gè)系數(shù)去擬合。

　　通常人們將一個(gè)可能的、對(duì)不相關(guān)變量t的構(gòu)成都無(wú)困難的函數(shù)類型稱作函數(shù)模型(如拋物線函數(shù)或指數(shù)函數(shù))。參數(shù)b是為了使所選擇的函數(shù)模型同觀測(cè)值y相匹配。(如在測(cè)量彈簧形變時(shí)，必須將所用的力與彈簧的膨脹系數(shù)聯(lián)系起來(lái))。其目標(biāo)是合適地選擇參數(shù)，使函數(shù)模型最好的擬合觀測(cè)值。一般情況下，觀測(cè)值遠(yuǎn)多于所選擇的參數(shù)。

　　其次的問(wèn)題是怎樣判斷不同擬合的質(zhì)量。高斯和勒讓德的方法是，假設(shè)測(cè)量誤差的平均值為0。令每一個(gè)測(cè)量誤差對(duì)應(yīng)一個(gè)變量并與其它測(cè)量誤差不相關(guān)(隨機(jī)無(wú)關(guān))。人們假設(shè)，在測(cè)量誤差中絕對(duì)不含系統(tǒng)誤差，它們應(yīng)該是純偶然誤差(有固定的變異數(shù))，圍繞真值波動(dòng)。除此之外，測(cè)量誤差符合正態(tài)分布，這保證了偏差值在最后的結(jié)果y上忽略不計(jì)。

　　確定擬合的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該被重視，并小心選擇，較大誤差的測(cè)量值應(yīng)被賦予較小的權(quán)。并建立如下規(guī)則：被選擇的參數(shù)，應(yīng)該使算出的函數(shù)曲線與觀測(cè)值之差的平方和最小。

　　最小二乘法推導(dǎo)

　　高中必修3變量間的相關(guān)關(guān)系一節(jié)中，回歸直線方程的求解過(guò)程省略了推導(dǎo)過(guò)程，先推倒如下：

　　2求Q (a 、b 為變量)的最小值 (a ， b ) =(y bx a ) i -i -

　　i =1∑n

　　思路：用配方法求Q (a ， b ) 的最小值.

　　2 Q (a ， b ) =(y bx a ) ∑i -i - i =1n n =∑∑n n i =1y i +∑x i b +n a -2∑x i y i b -2∑y i a +2∑x i ab 2222n n n i =1n i =1n i =1i =1= i =1 n x ab y i +∑x i b +n a -2∑x i y i b -2n y a +22222i =1i =1=n [a -2(y -b x ) a ]+∑x i b -2∑x i y i b +2n 22ni =1i =1∑n ) y i (將a 視作“主元”n n 2i =1 =n [a -2(y -b x ) a +(y -b x ) ]n (y -b x ) -2∑x i y i b ++∑x i b -22n 222i =1i =1∑y i 2i =1=n [a -(y -b x )]+(∑x x ) b -2(x n x y ) b +(∑y i -n y ) ∑i -n i y i -2n 222n n 22i =1i =1i =1

　　(完成對(duì)“主元”a 的配方后，再著手對(duì)剩余的b 配方)

　　n 222=n [a -(y -b x )]+(∑x i -n x ) b -i =1 n x y -n x y ∑i i i =1 n 22x -n x ∑i i =1n 2+(∑y i -n y ) -2 i =12(∑x i y i -n x y ) 2i =1n ∑x i =1n 2i -n x 2 n 222=n [a -(y -b x )]+(∑x i -n x ) b -i =1 x y -n x y ∑i i i =1 n 22x i -n x ∑i =1n 2

　　最小二乘法例題講解

　　n個(gè)人對(duì)同一支鉛筆的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，得到n個(gè)長(zhǎng)度數(shù)據(jù)：X1，X2，X3，……，Xn。

　　那么這支鉛筆的合理長(zhǎng)度X，應(yīng)該使所有偏差的平方和

　　Y(X)=(X1-X)^2+(X2-X)^2+(X3-X)^2+……+(Xn-X)^2，即

　　Y(X)=n*X^2-2*(X1+X2+X3+……+Xn)*X+[(X1)^2+(X2)^2+(X3)^2+……+(Xn)^2]最小。

　　這是一個(gè)簡(jiǎn)單的一元問(wèn)題，用不用導(dǎo)數(shù)都可以得到：合理長(zhǎng)度為X=(X1+X2+X3+……+Xn)/n。

　　稍復(fù)雜一點(diǎn)，管道里不同壓力V下，測(cè)量水流速度I，得到n組數(shù)據(jù)：(V1，I1)、(V2，I2)、(V3，I3)、……、(Vn，In)。

　　為了確定經(jīng)驗(yàn)公式I=aV+b中的a和b。應(yīng)該使所有偏差的平方和

　　Z(a，b)= [I1-(aV1+b)]^2+[I2-(aV2+b)]^2+[I3-(aV3+b)]^2+[In-(aVn+b)]^2，

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