簡單線性規(guī)劃教案例題解析

　　例2(教材本小節(jié)例2)

　　例3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1 t需耗A種礦石10 t、B種礦石5 t、煤4 t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4 t、B種礦石4 t、煤9 t．每1 t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1 t乙種產(chǎn)品的利潤是1 000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300 t、B種礦石不超過200 t、煤不超過360 t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到0.1 t)，能使利潤總額達(dá)到最大？

　　原料/10 g蛋白質(zhì)/單位鐵質(zhì)/單位

　　設(shè)甲、乙兩種原料分別用10x g和10 g，則需要的費(fèi)用為z＝3x＋2；病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x＋7≥35；同理，對鐵質(zhì)的要求可以表示為10x＋4≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7≥35，10x＋4≥40，x≥0，≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2的最小值．

　　甲乙 合計

　　解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和分鐘，總收益為z元．

　　例3某人承攬一項業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌3個，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3 2，可做文字標(biāo)牌1個，繪畫標(biāo)牌2個，乙種規(guī)格每張2 2，可做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最��？

　　混合烹調(diào)包裝

　　每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12小時，烹調(diào)的設(shè)備至多能用30小時，包裝的設(shè)備至多能用15小時，試求每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤？

　　已知庫房中現(xiàn)有甲、乙兩種鋼板的數(shù)量分別為5張和10張，市場急需A、B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15塊和27塊．

　　(1)問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數(shù)，且使所用的鋼板張數(shù)最少？

　　(2)若某人對線性規(guī)劃知識了解不多，而在可行域的整點(diǎn)中隨意取出一解，求其恰好取到最優(yōu)解的概率．

　　解：設(shè)需截甲、乙兩種鋼板的張數(shù)分別為x、，則2x＋≥15，x＋3≥27，0≤x≤5，0≤≤10，

　　作出可行域如圖．

　　(1)因為目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋(x、為整數(shù))，所以在一組平行直線x＋＝t(t為參數(shù))中，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋＝12，其經(jīng)過的整點(diǎn)是(3,9)和(4,8)，它們都是最優(yōu)解．

　　(2)因為可行域內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)為8，而最優(yōu)解有兩個，所以所求的概率為p＝28＝0.25.

　　答：兩種鋼板的張數(shù)分別為3、9或4、8，概率為0.25.

　　二、利潤的線性預(yù)測

　　問題：某企業(yè)2013年的利潤為5萬元，2014年的利潤為7萬元，2015年的利潤為8萬元．請你根據(jù)以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預(yù)測2017年企業(yè)的利潤，請問你幫該企業(yè)預(yù)測的利潤是多少萬元？

　　解：建立平面直角坐標(biāo)系，2013年的利潤為5萬元，對應(yīng)的點(diǎn)為A(0,5)，2014年的利潤為7萬元，2015年的利潤為8萬元分別對應(yīng)點(diǎn)B(1,7)和C(2,8)，那么

　　(1)過A、B兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測直線l1，其方程為＝2x＋5，這樣預(yù)測2017年的利潤為13萬元．

　　(2)過A、C兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測直線l2，其方程為＝32x＋5，這樣預(yù)測2017年的利潤為11萬元．

　　(3)過B、C兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測直線l3，其方程為＝x＋6，這樣預(yù)測2017年的利潤為10萬元．

　　(4)過A及線段BC的中點(diǎn)E(32，152)的直線作為預(yù)測直線l4，其方程為＝53x＋5，這樣預(yù)測2003年的利潤約為11.667萬元．

　　(5)過A及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預(yù)測直線l5，其方程為＝53x＋5，這樣預(yù)測2017年的利潤為11.667萬元．

　　(6)過C及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預(yù)測直線l6，其方程為＝43x＋163，這樣預(yù)測2017年的利潤為10.667萬元．

　　(7)過A及以線段BC的斜率BC＝1作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l7的方程為＝x＋5，這樣預(yù)測2017年的利潤為9萬元．

　　(8)過B及以線段AC的斜率AC＝32作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l8的方程為＝32x＋112，這樣預(yù)測2017年的利潤為11.5萬元．

　　(9)過C及以線段AB的斜率AB＝2作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l9的方程為＝2x＋4，這樣預(yù)測2017年的利潤為12萬元．

　　(10)過A及以線段AB的斜率AB與線段AC的斜率AC的平均數(shù)作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l10的方程為＝74x＋5，這樣預(yù)測2017年的利潤為12萬元．

　　還有其他方案，在此不一一列舉．

　　點(diǎn)評：(1)讀完以上的各種預(yù)測方案后，請你先思考兩個問題：

　�、俚�(5)種方案與第(4)種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？

　�、诘�(7)種方案中，BC的現(xiàn)實(shí)意義是什么？

　　(2)本題可從以下兩個方面進(jìn)一步拓展，其一是根據(jù)以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案(6)過△ABC的重心F(1，203)，找出以為斜率的直線中與A、C兩點(diǎn)距離的平方和最小的直線作為預(yù)測直線；其二是根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計利潤的范圍，你預(yù)測的利潤頻率出現(xiàn)最多的是哪一個值？你認(rèn)為將你預(yù)測的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤預(yù)測更有效？如果不要求用線性預(yù)測，你能得出什么結(jié)果？

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