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高青縣高二數(shù)學(xué)上期末試卷及答案
無(wú)論是在學(xué)習(xí)還是在工作中，我們經(jīng)常接觸到試卷，經(jīng)過(guò)半個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，究竟學(xué)到了什么?需要試卷來(lái)幫我們檢驗(yàn)。大家知道什么樣的試卷才是好試卷嗎？以下是小編幫大家整理的高青縣高二數(shù)學(xué)上期末試卷及答案，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。
高青縣高二數(shù)學(xué)上期末試卷及答案 1
一、選擇題(共10小題，每小題5分，滿分50分)
1.準(zhǔn)線為x=﹣2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.y2=﹣8x B.y2=8x C.x2=8y D.x2=﹣8y
2.設(shè)x∈R，則x>e的一個(gè)必要不充分條件是( )
A.x>1 B.x<1 c.x="">3 D.x<3
【考點(diǎn)】必要條件.
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)必要不充分的定義即可得到結(jié)論.
【解答】解：當(dāng)x>1時(shí)，滿足條件.
x<1是x>e的既不必要也不充分條件.
x>3是x>e的充分不必要條件.
x<3是x>e的既不必要也不充分條件.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用定義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).
3.不等式ax2+bx﹣2≥0的解集為 ，則實(shí)數(shù)a，b的值為( )
A.a=﹣8，b=﹣10 B.a=﹣1，b=9 C.a=﹣4，b=﹣9 D.a=﹣1，b=2
【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法.
【專題】不等式的解法及應(yīng)用.
【分析】由不等式ax2+bx﹣2≥0的解集為 ，可得 解出即可.
【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2≥0的解集為 ，
∴
解得a=﹣4，b=﹣9.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.
4.已知函數(shù)f(x)=(x﹣3)ex，則f′(0)=( )
A.2 B.﹣2 C.3 D. 4
【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.
【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.
【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式直接進(jìn)行求導(dǎo)，然后即可求f(0)的值.
【解答】解：∵f(x)=(x﹣3)ex，
∴f(x)=ex+(x﹣3)ex=(x﹣2)ex，
∴f(0)=(0﹣2)e0=﹣2，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，比較基礎(chǔ).
5.首項(xiàng)a1>0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=S12，則Sn取得最大值時(shí)n的值為( )
A.7 B.8或9 C.8 D.10
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的'前n項(xiàng)和.
【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.
【分析】由已知條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出a1=﹣8d，再結(jié)合題設(shè)條件推導(dǎo)出Sn= ，由此利用二次函數(shù)的對(duì)稱性能求出結(jié)果.
【解答】解：∵首項(xiàng)a1>0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S5=S12，
∴ ，
解得a1=﹣8d，
∵a1>0，
∴d<0，
∴
= ，
∵d<0，
∴Sn是一個(gè)關(guān)于n的開口向下的拋物線，
∵S5=S12，
∴由二次函數(shù)的對(duì)稱性知：
當(dāng) ，即n=8或n=9時(shí)，Sn取得最大值.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意二次函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題.
6.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，恰好是含60°角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. 或 D. 或
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【專題】分類討論;分析法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】由題意可得tan30°= ，或tan60°= ，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值.
【解答】解：由于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸兩個(gè)頂點(diǎn)，
是一個(gè)含60°角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，
則tan30°= ，或tan60°= ，
當(dāng) = 時(shí)，即b= c，即有a= =2c，
由e= = ;
當(dāng) = 時(shí)，即b= c，即有a= = c，
由e= = .
可得離心率為 或 .
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.
7.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=( )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì);對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知a5a6=a4a7，進(jìn)而根據(jù)a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5答案可得.
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10
故選B
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是靈活利用了等比中項(xiàng)的性質(zhì).
8.下列命題為真命題的是( )
A.已知x，y∈R，則 是 的充要條件
B.當(dāng)0
C.a，b∈R，
D.x∈R，sinx+cosx=
【考點(diǎn)】特稱命題.
【專題】證明題;整體思想;綜合法;簡(jiǎn)易邏輯.
【分析】A利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷
B利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷
C根據(jù)基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷
D根據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行判斷
【解答】解：A.當(dāng)x=4，y=1，滿足 ，但 不成立，即 不是 的充要條件，故A錯(cuò)誤，
B.當(dāng)0
C.當(dāng)a，b<0時(shí)， 不成立，故C錯(cuò)誤，
D.sinx+cosx= sin(x+ )∈[﹣ ， ]，
∵ ∈[﹣ ， ]，∴x∈R，sinx+cosx= ，故D正確，
故選：D
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，函數(shù)單調(diào)性，基本不等式以及三角函數(shù)的真假判斷，知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大.
9.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 ，且 ，則下列關(guān)系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2
【考點(diǎn)】余弦定理.
【專題】解三角形.
【分析】利用余弦定理表示出cosA，將已知第一個(gè)等式代入求出cosA的值，確定出A度數(shù)，再利用正弦定理化簡(jiǎn)第二個(gè)等式，求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，進(jìn)而求出C的度數(shù)，確定出三角形ABC形狀，即可做出判斷.
【解答】解：∵b2+c2﹣a2= bc，
∴cosA= = ，
∴A=30°，
由正弦定理化簡(jiǎn)b= a，得到sinB= sinA= ，
∴B=60°或120°，
當(dāng)B=60°時(shí)，C=90°，此時(shí)△ABC為直角三角形，
得到a2+b2=c2，2a=c;
當(dāng)B=120°時(shí)，C=30°，此時(shí)△ABC為等腰三角形，
得到a=c，
綜上，b=c不一定成立，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.
10.已知函數(shù)f(x)=(1﹣ )ex，若同時(shí)滿足條件：
�、賦0∈(0，+∞)，x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
�、趚∈(8，+∞)，f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(4，8] B.[8，+∞) C.(﹣∞，0)∪[8，+∞) D.(﹣∞，0)∪(4，8]
【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.
【分析】求導(dǎo)數(shù)，由①得到 ;
由②x∈(8，+∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8，+∞)上的最小值大于0即可，
分別解出不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍為4
【解答】解：由于 ，則 =
令f′(x)=0，則 ，
故函數(shù)f(x)在(﹣∞，x1)，(x2，+∞)上遞增，在(x1，x2)上遞減
由于x∈(8，+∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8，+∞)上的最小值大于0即可，
當(dāng)x2>8，即 時(shí)，函數(shù)f(x)在(8，+∞)上的最小值為 ，此時(shí)無(wú)解;
當(dāng)x2≤8，即 時(shí)，函數(shù)f(x)在(8，+∞)上的最小值為 ，解得a≤8.
又由x0∈(0，+∞)，x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，故 解得a>4;
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為4
故答案為 A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題(共5小題，每小題5分，滿分25分)
11.命題“x∈N，x2≠x”的否定是 x∈N，x2=x .
【考點(diǎn)】命題的否定.
【專題】簡(jiǎn)易邏輯.
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵全稱命題的否定是特稱命題，
∴命題的否定是：x∈N，x2=x.
故答案為：x∈N，x2=x.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ).
12.在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，則∠C的大小為 .
【考點(diǎn)】正弦定理.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合法;解三角形.
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ，由大邊對(duì)大角可得0
【解答】解：∵BC=3，∠A= ，AC= ，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵AC
∴B= ，
∴C=π﹣A﹣B= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，大邊對(duì)大角，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，求B的值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
13.曲線f(x)=xsin x在點(diǎn)( ， )處的切線方程是 x﹣y=0 .
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.
【分析】求導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得切線方程.
【解答】解：∵f(x)=xsinx，
∴f′(x)=sinx+xcosx，
∴f′( )=1，
∵f( )= ，
∴曲線f(x)=xsin x在點(diǎn)( ， )處的切線方程是y﹣ =x﹣ ，即x﹣y=0.
故答案為：x﹣y=0.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
14.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1，+∞)，且f(2)=f(4)=1，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，則不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是 3 .
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用.
【專題】數(shù)形結(jié)合;不等式的解法及應(yīng)用.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，確定f(x)在[1，3)上是減函數(shù)，在[3，+∞)上是增函數(shù)，結(jié)合f(2)=f(4)=1，可得一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次不等式組，畫出滿足條件的可行域，根據(jù)平面圖形，由面積公式可得答案.
【解答】解：由圖可知，f(x)在[1，3)上是減函數(shù)，在[3，+∞)上是增函數(shù)，
又f(2)=f(4)=1，f(2x+y)≤1，
所以2≤2x+y≤4，
從而不等式組為 ，作出可行域如圖所示，
其面積為S=×2×4﹣×1×2=3.
故答案為：3
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平面區(qū)域的面積問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題中一類重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，然后結(jié)合有關(guān)面積公式求解.
15.以下幾個(gè)命題中：其中真命題的序號(hào)為�、邰堋�(寫出所有真命題的序號(hào))
�、僭O(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)| |﹣| |=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;
�、谄矫鎯�(nèi)，到定點(diǎn)(2，1)的距離與到定直線3x+4y﹣10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線;<
�、垭p曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn);
�、苋舴匠�2x2﹣5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0
【考點(diǎn)】曲線與方程.
【專題】綜合題;方程思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】①根據(jù)雙曲線的定義知①不正確;
②說(shuō)明點(diǎn)(2，1)在直線3x+4y﹣10=0上，不滿足拋物線的定義;
③雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1大于0，即可判定;
�、芮蟪鲭p曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)，即可判定.
【解答】解：①平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)k(k<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，當(dāng)0
�、谠谄矫鎯�(nèi)，點(diǎn)(2，1)在直線3x+4y﹣10=0上，
∴到定點(diǎn)(2，1)的距離與到定直線3x+4y﹣10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線，∴②不正確;
�、垭p曲線 與橢圓 的焦點(diǎn)都是(± ，0)，有相同的焦點(diǎn)，正確;
�、苷_方程2x2﹣5x+a=0的可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則 ，∴0
故答案為：③④.
【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)命題真假的判定考查橢圓、雙曲線拋物線的定義、性質(zhì)和曲線的方程與方程的曲線等問(wèn)題，是綜合題目.
三、解答題(共6小題，滿分75分)
16.已知命題p：x0∈R，使得 成立;命題q：函數(shù)y=loga(x+1)在區(qū)間(0，+∞)上為減函數(shù);
(1)若命題￢p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假.
【專題】簡(jiǎn)易邏輯.
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷.
【解答】解：(1)∵命題p：x0∈R，使得 成立
∴￢p：x∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立
∴①a≥0時(shí) ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立
�、谟� 得a≤﹣1
(2)∵命題q：函數(shù)y=loga(x+1)在區(qū)間(0，+∞)上為減函數(shù)
∴命題q為真，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：0
∵命題“p或q”為真，且“p且q”為假，
∴命題p、q一真一假
�、佼�(dāng)p真q假時(shí)，則 ，得實(shí)數(shù)a的取值范圍，﹣1
�、诋�(dāng)p假q真時(shí)，則 ，實(shí)數(shù)a的取值范圍：無(wú)解
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣1
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，屬于基礎(chǔ)題目
17.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列.
(Ⅰ)若 ，B=60°，求a，b，c的值;
(Ⅱ)求角B的取值范圍.
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì);余弦定理.
【專題】綜合題;等差數(shù)列與等比數(shù)列;解三角形.
【分析】(Ⅰ)利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得b2=ac，再結(jié)合余弦定理，即可求a，b，c的值;
(Ⅱ)利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求角B的取值范圍.
【解答】解：(Ⅰ)∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b2=ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
∵B=60°
∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
聯(lián)立方程組 ，
解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(Ⅱ) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
∵a2+c2≥2ac，∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
∴0°
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵.
18.已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2|PF1|= |PF2|= .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l過(guò)圓x2+y2+4x﹣2y=0的圓心M且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程.
【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用.
【專題】綜合題;壓軸題.
【分析】解：(Ⅰ)由題意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3， ，由此可求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)解法一：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2).設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1，代入橢圓C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.所以 .解得 ，由此可求出直線l的方程.
(Ⅱ)解法二：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2).由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 .③因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得直線l的斜率為 ，由此可求出直線l的方程.
【解答】解：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3.
在Rt△PF1F2中， ，
故橢圓的半焦距c= ，
從而b2=a2﹣c2=4，
所以橢圓C的方程為 =1.
(Ⅱ)解法一：
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2).
已知圓的方程為(x+2)2+(y﹣1)2=5，
所以圓心M的坐標(biāo)為(﹣2，1).
從而可設(shè)直線l的方程為
y=k(x+2)+1，
代入橢圓C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.
因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
所以 .
解得 ，
所以直線l的方程為 ，
即8x﹣9y+25=0.
(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)
(Ⅱ)解法二：
已知圓的方程為(x+2)2+(y﹣1)2=5，
所以圓心M的坐標(biāo)為(﹣2，1).
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2).
由題意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 .③
因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
代入③得 = ，
即直線l的斜率為 ，
所以直線l的方程為y﹣1= (x+2)，
即8x﹣9y+25=0.
(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題，避免錯(cuò)誤.
19.數(shù)列{an}滿足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0(n≥1).記 .
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn.
【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.
【專題】計(jì)算題;壓軸題.
【分析】(法一)(I)由a1結(jié)合遞推公式可求a2，a3，a4，代入 求b1，b2，b3，b4
(II)先由(I)中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列 為等比數(shù)列，進(jìn)而可求bn，結(jié)合 ，從而猜想得以證明，代入求出anbn，進(jìn)而求出前n和sn
(法二)(I) 代入遞推公式可得 ，代入可求b1，b2，b3，b4
(II)利用(I)中的遞推關(guān)系個(gè)構(gòu)造數(shù)列 為等比數(shù)列，從而可求bn，sn
(法三)(I)同法一
(II)先由(I)中求出的b1，b2，b3，b4的值，觀察規(guī)律可猜想數(shù)列bn+1﹣bn為等比數(shù)列，仿照法一再證明猜想，根據(jù)求通項(xiàng)的方法求bn，進(jìn)一步求sn
【解答】解：法一：
(I)a1=1，故 ; ，
故 ; ，
故 ; ，
故 .
(II)因 ，
故猜想 是首項(xiàng)為 ，公比q=2的等比數(shù)列.
因an≠2，(否則將an=2代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾)故 .
因 ，
故 確是公比為q=2的等比數(shù)列.
因 ，故 ， ，
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二：
(Ⅰ)由 得 ，代入遞推關(guān)系8an+1an﹣16an+1+2an+5=0，
整理得 ，即 ，
由a1=1，有b1=2，所以 .
(Ⅱ)由 ，
所以 是首項(xiàng)為 ，公比q=2的等比數(shù)列，
故 ，即 .
由 ，得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
法三：
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ) 猜想{bn+1﹣bn}是首項(xiàng)為 ，
公比q=2的等比數(shù)列，
又因an≠2，故 .
因此 =
;
= .
因 是公比q=2的等比數(shù)列， ，
從而bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1=
=
= .
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的綜合運(yùn)用：遞推關(guān)系的運(yùn)用，構(gòu)造等比求數(shù)列通項(xiàng)，累加求通項(xiàng)，歸納推理的運(yùn)用，綜合考查了考生的推理運(yùn)算能力.
20.一個(gè)截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬AB=4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時(shí)只能挖土，不準(zhǔn)向河道填土.
(1)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧AB的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試求當(dāng)截面梯形的下底(較長(zhǎng)的底邊)長(zhǎng)為多少米時(shí)，才能使挖出的土最少?
【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】(1)以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，一依題意可知A，B的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的方程，把點(diǎn)B代入求得p，進(jìn)而可求得拋物線的方程.
(2)設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于P，則可利用導(dǎo)函數(shù)求得P的切線的斜率，表示直線l的方程，分別令y=0和2求得x，利用梯形面積求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得三角形面積的小值.
【解答】解：(1)如圖：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系
則A(﹣2，2)，B(2，2)
設(shè)拋物線的方程為x2=2Py(P>0)，
將點(diǎn)B(2，2)代入得P=1
所以拋物線弧AB方程為x2=2y(﹣2≤x≤2)
(2)設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于 ，(不妨t>0)
則過(guò) 的切線l的斜率為y′|x=t=t
所以切線l的方程為： ，即
令y=0，得 ，
令y=2，得 ，
所以梯形面積
當(dāng)僅當(dāng) ，即 時(shí)，“=”成立
此時(shí)下底邊長(zhǎng)為
答：當(dāng)梯形的下底邊長(zhǎng)等于 米時(shí)，挖出的土最少.
【點(diǎn)評(píng)】考查待定系數(shù)法求曲線方程的知識(shí);考查直線方程的知識(shí);考查由函數(shù)導(dǎo)數(shù)或判別式法求曲線切線的知識(shí);考查應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性或不等式求函數(shù)最值的知識(shí);考查選擇恰當(dāng)參數(shù)建立數(shù)學(xué)式子研究幾何圖形的解析幾何思維;考查根據(jù)實(shí)際選擇數(shù)學(xué)模型的能力(即數(shù)學(xué)建模能力).
21.如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A(﹣1，0)、B(2，0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.
(Ⅰ)求軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=﹣2x+m與y軸交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|<|PR|，求 的取值范圍.
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題;圓錐曲線的軌跡問(wèn)題.
【專題】綜合題;壓軸題.
【分析】(Ⅰ)設(shè)出點(diǎn)M(x，y)，分類討論，根據(jù)∠MBA=2∠MAB，利用正切函數(shù)公式，建立方程化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0(x>1)聯(lián)立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有兩根且均在(1，+∞)內(nèi)
可知，m>1，m≠2設(shè)Q，R的坐標(biāo)，求出xR，xQ，利用 ，即可確定 的取值范圍.
【解答】解：(Ⅰ)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，顯然有x>0，且y≠0
當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，±3)
當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化簡(jiǎn)可得3x2﹣y2﹣3=0
而點(diǎn)(2，±3)在曲線3x2﹣y2﹣3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x2﹣y2﹣3=0(x>1);
(Ⅱ)直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0(x>1)聯(lián)立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有兩根且均在(1，+∞)內(nèi)
設(shè)f(x)=x2﹣4mx+m2+3，∴ ，∴m>1，m≠2
設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，
∵|PQ|<|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m﹣ ，
∴ = =
∵m>1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范圍是(1，7)∪(7，7+4 )
【點(diǎn)評(píng)】本題以角的關(guān)系為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運(yùn)算能力，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，解題的關(guān)鍵是確定參數(shù)的范圍.
高青縣高二數(shù)學(xué)上期末試卷及答案 2
一、選擇題
1.已知an+1=an-3，則數(shù)列{an}是()
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列
C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列
解析：∵an+1-an=-30，由遞減數(shù)列的定義知B選項(xiàng)正確.故選B.
答案：B
2.設(shè)an=1n+1+1n+2+1n+3++12n+1(nN*)，則()
A.an+1an B.an+1=an
C.an+1
解析：an+1-an=(1n+2+1n+3++12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2++12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.
∵nN*，an+1-an0.故選C.
答案：C
3.1,0,1,0，的通項(xiàng)公式為()
A.2n-1 B.1+-1n2
C.1--1n2 D.n+-1n2
解析：解法1：代入驗(yàn)證法.
解法2：各項(xiàng)可變形為1+12，1-12，1+12，1-12，偶數(shù)項(xiàng)為1-12，奇數(shù)項(xiàng)為1+12.故選C.
答案：C
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=an-33an+1(nN*)，則a20等于()
A.0 B.-3
C.3 D.32
解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，可知此數(shù)列的最小正周期為3，a20=a36+2=a2=-3，故選B.
答案：B
5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2n2+1，則0.98()
A.是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，且n=6
B.不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)
C.是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，且n=7
D.是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，且n=7
解析：由n2n2+1=0.98，得0.98n2+0.98=n2，n2=49.n=7(n=-7舍去)，故選C.
答案：C
6.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=7(34)2n-2-3(34)n-1，則數(shù)列{an}的()
A.最大項(xiàng)為a5，最小項(xiàng)為a6
B.最大項(xiàng)為a6，最小項(xiàng)為a7
C.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a6
D.最大項(xiàng)為a7，最小項(xiàng)為a6
解析：令t=(34)n-1，nN+，則t(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.
從而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.
函數(shù)f(t)=7t2-3t在(0，314]上是減函數(shù)，在[314，1]上是增函數(shù)，所以a1是最大項(xiàng)，故選C.
答案：C
7.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=32an-3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為()
A.an=23n-1 B.an=32n
C.an=3n+3 D.an=23n
解析：
�、�-②得anan-1=3.
∵a1=S1=32a1-3，
a1=6，an=23n.故選D.
答案：D
8.數(shù)列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S22-S11等于()
A.-85 B.85
C.-65 D.65
解析：S22=1-5+9-13+17-21+-85=-44，
S11=1-5+9-13++33-37+41=21，
S22-S11=-65.
或S22-S11=a12+a13++a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)++(a21+a22)=-65.故選C.
答案：C
9.在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，則a2007等于()
A.-4 B.-5
C.4 D.5
解析：依次算出前幾項(xiàng)為1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，發(fā)現(xiàn)周期為6，則a2007=a3=4.故選C.
答案：C
10.數(shù)列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，則下列敘述正確的是()
A.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a3
B.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)不存在
C.最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為a3
D.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a4
解析：令t=(23)n-1，則t=1，23，(23)2，且t(0,1]時(shí)，an=t(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.
故最大項(xiàng)為a1=0.
當(dāng)n=3時(shí)，t=(23)n-1=49，a3=-2081;
當(dāng)n=4時(shí)，t=(23)n-1=827，a4=-152729;
又a3
答案：A
二、填空題
11.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
則它的前8項(xiàng)依次為________.
解析：將n=1,2,3，8依次代入通項(xiàng)公式求出即可.
答案：1,3，13，7，15，11，17，15
12.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+29n+3，則{an}中的最大項(xiàng)是第________項(xiàng).
解析：an=-2(n-294)2+8658.當(dāng)n=7時(shí)，an最大.
答案：7
13.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=log3(n+1)，則a5等于________.
解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.
答案：log365
14.給出下列公式：
�、賏n=sinn
②an=0，n為偶數(shù)，-1n，n為奇數(shù);
�、踑n=(-1)n+1.1+-1n+12;
�、躠n=12(-1)n+1[1-(-1)n].
其中是數(shù)列1,0，-1,0,1,0，-1,0，的通項(xiàng)公式的有________.(將所有正確公式的序號(hào)全填上)
解析：用列舉法可得.
答案：①
三、解答題
15.求出數(shù)列1,1,2,2,3,3，的一個(gè)通項(xiàng)公式.
解析：此數(shù)列化為1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，由分子的'規(guī)律知，前項(xiàng)組成正自然數(shù)數(shù)列，后項(xiàng)組成數(shù)列1,0,1,0,1,0，.
an=n+1--1n22，
即an=14[2n+1-(-1)n](nN*).
也可用分段式表示為
16.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.
解析：分別用3、10、2n-1去替換通項(xiàng)公式中的n，得
a3=(-1)3123+1=-17，
a10=(-1)101210+1=121，
a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.
17.在數(shù)列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).
(1)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)將此數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)全部取出并按原來(lái)的先后順序組成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
解析：(1)依題意可設(shè)通項(xiàng)公式為an=pn+q，
得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.
{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.
(2)依題意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，
{bn}的通項(xiàng)公式為bn=4n+1.
18.已知an=9nn+110n(nN*)，試問(wèn)數(shù)列中有沒(méi)有最大項(xiàng)?如果有，求出最大項(xiàng)，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.
解析：∵an+1-an=(910)(n+1)(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+18-n9，
當(dāng)n7時(shí)，an+1-an
當(dāng)n=8時(shí)，an+1-an=0;
當(dāng)n9時(shí)，an+1-an0.
a1
故數(shù)列{an}存在最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為a8=a9=99108.
高青縣高二數(shù)學(xué)上期末試卷及答案 3
一、選擇題
1．某年級(jí)有6個(gè)班，分別派3名語(yǔ)文教師任教，每個(gè)教師教2個(gè)班，則不同的任課方法種數(shù)為( )
A．C26C24C22 B．A26A24A22
C．C26C24C22C33 D.A26C24C22A33
[答案] A
2．從單詞“equation”中取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相連且順序不變)的不同排法共有( )
A．120種 B．480種
C．720種 D．840種
[答案] B
[解析] 先選后排，從除qu外的6個(gè)字母中任選3個(gè)字母有C36種排法，再將qu看成一個(gè)整體(相當(dāng)于一個(gè)元素)與選出的3個(gè)字母進(jìn)行全排列有A44種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同排法共有C36A44＝480(種)．
3．從編號(hào)為1、2、3、4的四種不同的種子中選出3種，在3塊不同的土地上試種，每塊土地上試種一種，其中1號(hào)種子必須試種，則不同的試種方法有( )
A．24種 B．18種
C．12種 D．96種
[答案] B
[解析] 先選后排C23A33＝18，故選B.
4．把0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)，每次取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有( )
A．40個(gè) B．120個(gè)
C．360個(gè) D．720個(gè)
[答案] A
[解析] 先選取3個(gè)不同的數(shù)有C36種方法，然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另兩個(gè)不同的數(shù)放在十位和個(gè)位上，有A22種排法，故共有C36A22＝40個(gè)三位數(shù)．
5．(2010湖南理，7)在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為( )
A．10 B．11
C．12 D．15
[答案] B
[解析] 與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：
第一類：與信息0110只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C24＝6(個(gè))
第二類：與信息0110只有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C14＝4(個(gè))
第三類：與信息0110沒(méi)有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C04＝1(個(gè))
與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6＋4＋1＝11(個(gè))
6．北京《財(cái)富》全球論壇開幕期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為( )
A．C414C412C48 B．C1214C412C48
C.C1214C412C48A33 D．C1214C412C48A33
[答案] B
[解析] 解法1：由題意知不同的排班種數(shù)為：C414C410C46＝14×13×12×114！10×9×8×74！6×52�。紺1214C412C48.
故選B.
解法2：也可先選出12人再排班為：C1214C412C48C44，即選B.
7．(2009湖南理5)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為( )
A．85 B．56
C．49 D．28
[答案] C
[解析] 考查有限制條件的組合問(wèn)題．
(1)從甲、乙兩人中選1人，有2種選法，從除甲、乙、丙外的7人中選2人，有C27種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2C27＝42種．
(2)甲、乙兩人全選，再?gòu)某獾钠溆?人中選1人共7種選法．
由分類計(jì)數(shù)原理知共有不同選法42＋7＝49種．
8．以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有( )
A．6個(gè) B．12個(gè)
C．18個(gè) D．30個(gè)
[答案] B
[解析] C46－3＝12個(gè)，故選B.
9．(2009遼寧理，5)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有( )
A．70種 B．80種
C．100種 D．140種
[答案] A
[解析] 考查排列組合有關(guān)知識(shí)．
解：可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名，
∴共有C25C14＋C15C24＝70，∴選A.
10．設(shè)集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．選擇Ⅰ的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有( )
A．50種 B．49種
C．48種 D．47種
[答案] B
[解析] 主要考查集合、排列、組合的基礎(chǔ)知識(shí)．考查分類討論的思想方法．
因?yàn)榧螦中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素從1、2、3、4中取，B中元素從2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一個(gè)元素．
1° 當(dāng)A＝{1}時(shí)，選B的方案共有24－1＝15種，
當(dāng)A＝{2}時(shí)，選B的方案共有23－1＝7種，
當(dāng)A＝{3}時(shí)，選B的方案共有22－1＝3種，
當(dāng)A＝{4}時(shí)，選B的方案共有21－1＝1種．
故A是單元素集時(shí)，B有15＋7＋3＋1＝26種．
2° A為二元素集時(shí)，
A中最大元素是2，有1種，選B的方案有23－1＝7種．
A中最大元素是3，有C12種，選B的方案有22－1＝3種．故共有2×3＝6種．
A中最大元素是4，有C13種．選B的'方案有21－1＝1種，故共有3×1＝3種．
故A中有兩個(gè)元素時(shí)共有7＋6＋3＝16種．
3° A為三元素集時(shí)，
A中最大元素是3，有1種，選B的方案有22－1＝3種．
A中最大元素是4，有C23＝3種，選B的方案有1種，
∴共有3×1＝3種．
∴A為三元素時(shí)共有3＋3＝6種．
4° A為四元素時(shí)，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一種．
∴共有26＋16＋6＋1＝49種．
二、填空題
11．北京市某中學(xué)要把9臺(tái)型號(hào)相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到2臺(tái)，共有______種不同送法．
[答案] 10
[解析] 每校先各得一臺(tái)，再將剩余6臺(tái)分成3份，用插板法解，共有C25＝10種．
12．一排7個(gè)座位分給3人坐，要求任何兩人都不得相鄰，所有不同排法的總數(shù)有________種．
[答案] 60
[解析] 對(duì)于任一種坐法，可視4個(gè)空位為0,3個(gè)人為1,2,3則所有不同坐法的種數(shù)可看作4個(gè)0和1,2,3的一種編碼，要求1,2,3不得相鄰故從4個(gè)0形成的5個(gè)空檔中選3個(gè)插入1,2,3即可．
∴不同排法有A35＝60種．
13．(09海南寧夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)．若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種(用數(shù)字作答)．
[答案] 140
[解析] 本題主要考查排列組合知識(shí)．
由題意知，若每天安排3人，則不同的安排方案有
C37C34＝140種．
14．2010年上海世博會(huì)期間，將5名志愿者分配到3個(gè)不同國(guó)家的場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)是________種．
[答案] 150
[解析] 先分組共有C35＋C25C232種，然后進(jìn)行排列，有A33種，所以共有(C35＋C25C232)A33＝150種方案．
三、解答題
15．解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.
[解析] 因?yàn)镃x2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.經(jīng)檢驗(yàn)x＝3和x＝－9不符合題意，舍去，故原方程的解為x1＝－1，x2＝1.
16．在∠MON的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，邊ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))為頂點(diǎn)，可以得到多少個(gè)三角形？
[解析] 解法1：(直接法)分幾種情況考慮：O為頂點(diǎn)的三角形中，必須另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在OM、ON上，所以有C15C14個(gè)，O不為頂點(diǎn)的三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)在OM上，一個(gè)頂點(diǎn)在ON上有C25C14個(gè)，一個(gè)頂點(diǎn)在OM上，兩個(gè)頂點(diǎn)在ON上有C15C24個(gè)．因?yàn)檫@是分類問(wèn)題，所以用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝5×4＋10×4＋5×6＝90(個(gè))．
解法2：(間接法)先不考慮共線點(diǎn)的問(wèn)題，從10個(gè)不同元素中任取三點(diǎn)的組合數(shù)是C310，但其中OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取三點(diǎn)不能得到三角形，ON上的5個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取3點(diǎn)也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35個(gè)，即C310－C36－C35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90(個(gè))．
解法3：也可以這樣考慮，把O點(diǎn)看成是OM邊上的點(diǎn)，先從OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中取2點(diǎn)，ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，可得C26C14個(gè)三角形，再?gòu)腛M上的5點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，從ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取兩點(diǎn)，可得C15C24個(gè)三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝15×4＋5×6＝90(個(gè))．
17．某次足球比賽共12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行．
(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈剩球數(shù)取前兩名；
(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場(chǎng)交叉淘汰賽(每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng))決出勝者；
(3)決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加決賽一場(chǎng)，決出勝負(fù)．
問(wèn)全程賽程共需比賽多少場(chǎng)？
[解析] (1)小組賽中每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，就是6支球隊(duì)的任兩支球隊(duì)都要比賽一次，所需比賽的場(chǎng)次即為從6個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)，所以小組賽共要比賽2C26＝30(場(chǎng))．
(2)半決賽中甲組第一名與乙組第二名(或乙組第一名與甲組第二名)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng)，所需比賽的場(chǎng)次即為從2個(gè)元素中任取2個(gè)元素的排列數(shù)，所以半決賽共要比賽2A22＝4(場(chǎng))．
(3)決賽只需比賽1場(chǎng)，即可決出勝負(fù)．
所以全部賽程共需比賽30＋4＋1＝35(場(chǎng))．
18．有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本．
[分析] 由題目可獲取以下主要信息：
�、�9本不同的課外書分給甲、乙丙三名同學(xué)；
②題目中的3個(gè)問(wèn)題的條件不同．
解答本題先判斷是否與順序有關(guān)，然后利用相關(guān)的知識(shí)去解答．
[解析] (1)分三步完成：
第一步：從9本不同的書中，任取4本分給甲，有C49種方法；
第二步：從余下的5本書中，任取3本給乙，有C35種方法；
第三步：把剩下的書給丙有C22種方法，
∴共有不同的分法有C49C35C22＝1260(種)．
(2)分兩步完成：
第一步：將4本、3本、2本分成三組有C49C35C22種方法；
第二步：將分成的三組書分給甲、乙、丙三個(gè)人，有A33種方法，
∴共有C49C35C22A33＝7560(種)．
(3)用與(1)相同的方法求解，
得C39C36C33＝1680(種)．
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