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九年級數(shù)學(xué)下二次函數(shù)質(zhì)量檢測試題
一、選擇題
1.二次函數(shù)y=-x2+2x+2化為y=a(x-h)2+k的形式，下列正確的是( )
A. y=-(x-1)2+2 B. y=-(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4
2.拋物線y=(x-2)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A. (-2，5) B. (2，5) C. (-2，-5) D. (2，-5)
3.把拋物線y=-x2向左平移1個(gè)單位長度，然后向上平移3個(gè)單位長度，則平移后拋物線的解析式為( )
A.y=-(x-1)²-3 B.y=-(x+1)²-3 C.y=-(x-1)²+3 D.y=-(x+1)²+3
4.小明從圖所示的二次函數(shù) 的圖象中，觀察得出了下面四條信息：① ;② <0;③ ;④方程 必有一個(gè)根在-1到0之間.你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
5.已知二次函數(shù)的圖象(﹣0.7≤x≤2)如圖所示、關(guān)于該函數(shù)在所給自變量x的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是( )
A. 有最小值1，有最大值2 B. 有最小值-1，有最大值1
C. 有最小值-1，有最大值2 D. 有最小值-1，無最大值
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
6.二次函數(shù) ，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：
則下列說法正確的是( )
A. 拋物線的開口向下 B. 當(dāng)x> 時(shí)，y隨x的增大而增大
C. 二次函數(shù)的最小值是 D. 拋物線的對稱軸是x=
7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，反比例函數(shù) 與正比例函數(shù)y=bx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是( )
A. B. C. D.
8.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動;另一動點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點(diǎn)運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為x(s)，△BPQ的面積為y(cm2)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是( )
9.二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為( )
A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.9
10.已知二次函數(shù)y=kx2﹣5x﹣5的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是( )
A.k>- B.k - 且k≠0 C.k - D.k>- 且k≠0
評卷人 得分
二、填空題
11.已知拋物線y=x2﹣(k+1)x+4的頂點(diǎn)在x軸上，則k的值是 .
12.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A(1，0)，對稱軸為直線x=﹣1，則一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
13.利用圖象法求方程的解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法，它是將方程的解看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).若關(guān)于x的方程x2+a﹣ =0(a>0)只有一個(gè)整數(shù)解，則a的值等于 .
14.已知拋物線p：y= +bx+c的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′，我們稱以A為頂點(diǎn)且過點(diǎn)C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線.若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y= +2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為 .
評卷人 得分
三、解答題
15.已知：關(guān)于x的方程：mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0.
(1)求證：無論m取何值時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根;
(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí)，求拋物線的解析式.
16.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣4，0)、B(1，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線y=mx+n經(jīng)過A(﹣4，0)、C(0，3)兩點(diǎn).
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的解;
(2)若ax2+bx+c>mx+n，寫出x的取值范圍.
17.已知拋物線y=x2﹣2x﹣8.
(1)用配方法把y=x2﹣2x﹣8化為y=(x﹣h)2+k形式;
(2)并指出：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，拋物線的對稱軸方程是 ，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是 ，當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而增大.
18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2+1的對稱軸是直線x=1.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)D(n，y1)，E(3，y2)在拋物線上，若y1
(3)設(shè)點(diǎn)M(p，q)為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)﹣1
19.根據(jù)下列要求，解答相關(guān)問題.
(1)請補(bǔ)全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的過程.
�、贅�(gòu)造函數(shù)，畫出圖象：根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x;并在下面的坐標(biāo)系中(圖1)畫出二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x的圖象(只畫出圖象即可).
�、谇蟮媒琰c(diǎn)，標(biāo)示所需，當(dāng)y=0時(shí)，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為 ;并用鋸齒線標(biāo)示出函數(shù)y=﹣2x2﹣4x圖象中y>0的部分.
�、劢柚鷪D象，寫出解集：由所標(biāo)示圖象，可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集為﹣2
20.若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，開口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.
(1)請寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)，若y1+y2為y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的取值范圍.
21.九(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如下表：
時(shí)間x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售價(jià)(元/件) x+40 90
每天銷量(件) 200﹣2x
已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少?
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結(jié)果.
22.如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(1，4)，拋物線與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，與x軸交于C、D兩點(diǎn).點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD的面積;
(3)若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，滿足S△PCD= S△BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
23.如圖1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度分別沿折線B→A→C、射線BC運(yùn)動，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)BQ=x，△BPQ與△ABC重疊部分的面積為S.如圖2是S關(guān)于x的函數(shù)圖象(其中0≤x≤8，8
(1)填空：m的值為 ;
(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;
(3)請直接寫出△PCQ為等腰三角形時(shí)x的值.
24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，與y軸交于C(0，﹣4)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形?若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
參考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.D
7.B
8.A
9.B.
10.B
11.3或﹣5.
12.x1=1，x2=﹣3.
13.3.
14.y= ﹣2x﹣3.
15.解：(1)、①當(dāng)m=0時(shí)，原方程可化為x﹣2=0，解得x=2;②當(dāng)m≠0時(shí)，方程為一元二次方程，
△=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m﹣2) =m2+2m+1 =(m+1)2≥0，故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
故無論m為何值，方程恒有實(shí)數(shù)根.
(2)、∵二次函數(shù)y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2，
∴ =2， 整理得，3m2﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣ .
則函數(shù)解析式為y=x2﹣2x或y=﹣ x2+2x﹣ .
16.解：(1)、根據(jù)一元二次方程的解就是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)解答即可;(2)、確定出拋物線在直線上方部分的x的取值即可.
試題解析：(1)、∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣4，0)、B(1，0)，∴方程ax2+bx+c=0的解為x1=﹣4，x2=1;
(2)、由圖可知，ax2+bx+c>mx+n時(shí)，﹣4
17.解：(1)、y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣1﹣8 =(x﹣1)2﹣9.
(2)、由(1)知，拋物線的解析式為：y=(x﹣1)2﹣9， ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，﹣9)
拋物線的對稱軸方程是x=1 當(dāng)y=0時(shí)， (x﹣1)2﹣9=0， 解得x=﹣2或x=4，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣2，0)，(4，0); ∵該拋物線的開口向上，對稱軸方程是x=1，
∴當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大.
18.解：(1)∵拋物線的對稱軸為x=1，∴x=﹣ =1.
解得：m=1.∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x.
(2)將x=3代入拋物線的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3.
將y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3.解得：x1=﹣1，x2=3.
∵a=﹣1<0，∴當(dāng)n<﹣1或n>3時(shí)，y1
(3)設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為M′，則點(diǎn)M′運(yùn)動的軌跡如圖所示：
∵當(dāng)P=﹣1時(shí)，q=﹣(﹣1)2+2×(﹣1)=﹣3.∴點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M1′的坐標(biāo)為(1，﹣3).
∵當(dāng)P=2時(shí)，q=﹣22+2×2=0，∴點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M2′的坐標(biāo)為(﹣2，0).
�、佼�(dāng)k<0時(shí)，∵點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0.
解得：k≥﹣2.
�、诋�(dāng)k>0時(shí)，∵點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方，
∴k﹣4≤﹣3.解得;k≤1.
∴k的取值范圍是﹣2≤k≤1.
19.解：①圖所示：
;
�、诜匠泰�2x2﹣4x=0即﹣2x(x+2)=0，
解得：x1=0，x2=﹣2;
則方程的解是x1=0，x2=﹣2，
圖象如圖1;
③函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象是：
當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1.
則不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1.
20.解：(1)、設(shè)頂點(diǎn)為(h，k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x﹣h)2+k， 當(dāng)a=2，h=3，k=4時(shí)，
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(x﹣3)2+4. ∵2>0， ∴該二次函數(shù)圖象的開口向上.
當(dāng)a=3，h=3，k=4時(shí)， 二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(x﹣3)2+4. ∵3>0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上.
∵兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4頂點(diǎn)相同，開口都向上，
∴兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.
∴符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4.
(2)、∵y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)， ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1. 整理得：m2﹣2m+1=0. 解得：m1=m2=1.
∴y1=2x2﹣4x+3=2(x﹣1)2+1， ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+(b﹣4)x+(c+3)，
∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”， ∴y1+y2=3(x﹣1)2+1=3x2﹣6x+4， ∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=x2﹣2x+1.
∴y2=x2﹣2x+1=(x﹣1)2， ∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1. ∵1>0，
∴函數(shù)y2的圖象開口向上. 當(dāng)0≤x≤3時(shí)，∵函數(shù)y2的圖象開口向上， ∴y2的取值范圍為0≤y2≤4.
21.解：(1)、當(dāng)1≤x<50時(shí)，y=(200﹣2x)(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，
y=(200﹣2x)(90﹣30)=﹣120x+12000，
綜上所述：y= ;
(2)、當(dāng)1≤x<50時(shí)，二次函數(shù)開口向下，二次函數(shù)對稱軸為x=45，
當(dāng)x=45時(shí)，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=50時(shí)，y最大=6000，
綜上所述，該商品第45天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是6050元;
(3)、當(dāng)1≤x<50時(shí)，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利潤不低于4800元的天數(shù)是20≤x<50，共30天; 當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利潤不低于4800元的天數(shù)是50≤x≤60，共11天，
所以該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元.
22.解：(1)、∵拋物線的頂點(diǎn)為A(1，4)， ∴設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a(x﹣1)2+4，
把點(diǎn)B(0，3)代入得，a+4=3， 解得a=﹣1， ∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)由(1)知，拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4; 令y=0，則0=﹣(x﹣1)2+4，
∴x=﹣1或x=3， ∴C(﹣1，0)，D(3，0); ∴CD=4，∴S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6;
(3)由(2)知，S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6;CD=4， ∵S△PCD= S△BCD，
∴S△PCD= CD×|yP|= ×4×|yP|=3， ∴|yP|= ， ∵點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，
∴yP>0， ∴yP= ， ∵拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4; ∴ =﹣(x﹣1)2+4，
∴x=1± ， ∴P(1+ ， )，或P(1﹣ ， ).
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.
23.解：(1)如圖1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分別為M，N.
由題意AB=AC=8，∠A=120°，
∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，
∴AM= AB=4，BM=CM= ，
∴BC= ，
∴m=BC= ，
故答案為： .
(2)①當(dāng)0≤m≤8時(shí)，如圖1中，
在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，
∴PN= x.
s= •BQ•PN= •x• •x= .
�、诋�(dāng)
在RT△PBN中，∵PC=16﹣x，∠PNC=90°，∠C=30°，
∴PN= PC=8﹣ x，
∴s= •BQ•PN= •x•(8﹣ x)= +4x.
�、郛�(dāng)
s= × •(8﹣ x)= ，
綜上，當(dāng)0≤m≤8時(shí)，s = ;當(dāng)
(3)①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，△PQC不可能是等腰三角形.
�、诋�(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ=QC，
∵PC= QC，
∴16﹣x= ( ﹣x)，
∴x= +4.
�、郛�(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC的延長線時(shí)，PC=CQ，
即16﹣x=x﹣ ，
∴x=8+ .
∴△PCQ為等腰三角形時(shí)x的值為 +4或8+ .
考點(diǎn)：動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.
24.(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣3x﹣4;
(2)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為( ，﹣2);
(3)此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2，﹣6)，四邊形ABPC的面積的最大值為18.
解：(1)將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值;
(2)由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大;過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：(1)將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
，
解得： ;
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣3x﹣4;
(2)存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形;
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，x2﹣3x﹣4)，PP′交CO于E
若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO;
如圖1，連接PP′，則PE⊥CO于E，
∵C(0，﹣4)，
∴CO=4，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=2
∴y=﹣2;
∴x2﹣3x﹣4=﹣2
解得：x1= ，x2= (不合題意，舍去)，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為( ，﹣2);
(3)如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P(x，x2﹣3x﹣4)，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，
則 ，
解得： ，
∴直線BC的解析式為：y=x﹣4，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x﹣4);
當(dāng)0=x2﹣3x﹣4，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴AO=1，AB=5，
S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
= ABOC+ QPBF+ QPOF
= ×5×4+ (4﹣x)[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]+ x[x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)]
=﹣2x2+8x+10
=﹣2(x﹣2)2+18
當(dāng)x=2時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2，﹣6)，四邊形ABPC的面積的最大值為18.
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