幾何的數(shù)學(xué)定義是什么
幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。下面是百分網(wǎng)小編給大家整理的數(shù)學(xué)幾何的簡介，希望能幫到大家!
幾何的數(shù)學(xué)定義
幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究內(nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。
幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類思想。暫時的數(shù)學(xué)各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。常見定理有勾股定理，歐拉定理，斯圖爾特定理等。
幾何基礎(chǔ)
公理系統(tǒng)原則
人們對《幾何原本》中在邏輯結(jié)果方面存在的一些漏洞、破綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動幾何學(xué)不斷向前發(fā)展的契機。最后德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的《幾何基礎(chǔ)》一書中提出了一個比較完善的幾何學(xué)的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。
希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系，并且還提出了建立一個公理系統(tǒng)的原則。就是在一個幾何公理系統(tǒng)中，采取哪些公理，應(yīng)該包含多少條公理，應(yīng)當(dāng)考慮如下三個方面的問題：
第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。
第二，獨立性，公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。
第三，完備性，公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明本學(xué)科的任何新命題。
這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。
意義
公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)。
因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個幾何學(xué)的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋，或者叫做某種幾何學(xué)的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學(xué)的時候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。
就此，幾何學(xué)研究的對象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來了深遠的影響。
幾何作圖
尺規(guī)作圖
公元前5世紀(jì)，雅典的“智者學(xué)派”以上述三大問題為中心，開展研究。正因為不能用尺規(guī)來解決，常常使人闖入新的領(lǐng)域中去。例如激發(fā)了圓錐曲線、割圓曲線以及三、四次代數(shù)曲線的'發(fā)現(xiàn)。
17世紀(jì)解析幾何建立以后，尺規(guī)作圖的可能性才有了準(zhǔn)則。1837年P(guān).L.旺策爾給出三等分任意角和倍立方不可能用尺規(guī)作圖的證明,1882年C.L.F.von林德曼證明了π的超越性，化圓為方的不可能性也得以確立。1895年(C.)F.克萊因總結(jié)了前人的研究，著《幾何三大問題》(中譯本，1930)一書，給出三大問題不可能用尺規(guī)來作圖的簡明證法，徹底解決了兩千多年的懸案。
雖然如此，還是有許多人不管這些證明，想壓倒前人所有的工作。他們宣稱自己已解決了三大問題中的某一個，實際上他們并不了解所設(shè)的條件和不可解的道理。三大問題不能解決，關(guān)鍵在工具的限制，如果不限工具，那就根本不是什么難題，而且早已解決。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面為了敘述簡單，將原題稍加修改。在直尺邊緣上添加一點p，命尺端為O。設(shè)所要三等分的角是∠ACB，以C為心，Op為半徑作半圓交角邊于A、B;使O點在CA延線上移動，p點在圓周上移動，當(dāng)尺通過B時，聯(lián)OpB(見圖)。由于Op=pC=CB，易知。
∠COB=1/3∠ACB
這里使用的工具已不限于尺規(guī)，而且作圖方法也與公設(shè)不合。另外兩個問題也可以用別的工具解決。
三大問題
古希臘幾何作圖的三大問題是：
�、倩瘓A為方，求作一正方形,使其面積等于一已知圓。
②三等分任意角;③倍立方，求作一立方體，使其體積是一已知立方體的兩倍。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度，只能作直線的尺)和圓規(guī)。
經(jīng)過兩千多年的探索，最后才證明在尺規(guī)的限制下，根本不可能作出所要求的圖形。
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