數(shù)學由來介紹
數(shù)學，起源于人類早期生產(chǎn)活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。下面是關(guān)于數(shù)學的由來的內(nèi)容，歡迎閱讀！
數(shù)學的由來
數(shù)學，我國古代叫算術(shù)，后來叫算學，又叫數(shù)學。近幾十年來才確定統(tǒng)一叫做數(shù)學。古代“算”字有三種寫法：籌、笄、算。從字形的結(jié)構(gòu)，可以看到事物演變的一些痕跡。
許慎《說文解字》對這幾個字作如下解釋：“笄”，“長六寸，計歷數(shù)者，從竹從弄言常弄乃不誤也”�！八悖瑪�(shù)也，從竹上具，讀若”。“示示”，或“算”原來都一種竹制的工具，是幾寸長的竹簽，也叫籌碼。用來記數(shù)、計算或卜卦。擺弄這些“算”，有一套技術(shù)基學問，自然就叫做“算術(shù)”或“算學”。
我國盛產(chǎn)竹子，是世界上最善于利用竹子的國家。用竹子做計算工具，使我國古代數(shù)學帶有許多和西方不同的特色�！笆臼尽庇蓛蓚�“示”字合成。《說文》解釋“示”字說：“示，神事也�！薄岸笔枪盼牡纳献�，三豎（后來寫成一豎兩點）是日、月、星。古人以為天上有神靈，神的表示是從上面下來的。矯同時也用來占筮，因此“示示”字帶有迷信色彩，是不奇怪的。
“算”字是什么時候開始使用的？李約瑟認為在甲骨文或金文中從未發(fā)現(xiàn)過這個算字，因此它出現(xiàn)的年代不可能早于公元前3世紀。無論如何，“算術(shù)”這個名稱在漢代已經(jīng)通行。正式使用，是在《九章算術(shù)》一書中。它的涵義是指當時的數(shù)學，和現(xiàn)代算術(shù)的意義不同。宋、元兩代，我國數(shù)學發(fā)展居世界前列。那時“算學”和“數(shù)學”這兩個詞是并用的。
算學、數(shù)學并用的情況，一直延續(xù)了幾百年，1935年“中國數(shù)學會名詞審查委員會”仍主張兩詞并用。直到1939年6月，為了劃一起見，才確定用“數(shù)學”，而不用“算學”。
數(shù)學名稱的由來
古希臘人在數(shù)學中引進了名稱，概念和自我思考，他們很早就開始猜測數(shù)學是如何產(chǎn)生的。雖然他們的猜測僅是匆匆記下，但他們幾乎先占有了猜想這一思考領(lǐng)域。古希臘人隨意記下的東西在19世紀變成了大堆文章，而在20世紀卻變成了令人討厭的陳辭濫調(diào)。 在現(xiàn)存的資料中，希羅多德（Ｈerodotus，公元前484－－425年）是第一個開始猜想的人。他只談論了幾何學，他對一般的數(shù)學概念也許不熟悉，但對土地測量的準確意思很敏感。作為一個人類學家和一個社會歷史學家，希羅多德指出，古希臘的幾何來自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹沒土地，為了租稅的目的，人們經(jīng)常需要重新丈量土地；他還說：希臘人從巴比倫人那里學會了日晷儀的使用，以及將一天分成12個時辰。希羅多德的這一發(fā)現(xiàn)，受到了肯定和贊揚。認為普通幾何學有一個輝煌開端的推測是膚淺的。
柏拉圖關(guān)心數(shù)學的各個方面，在他那充滿奇妙幻想的神話故事《費德洛斯篇》中，他說：
故事發(fā)生在古埃及的洛克拉丁（區(qū)域），在那里住著一位老神仙，他的名字叫賽斯（Ｔheuth），對于賽斯來說，朱鷺是神鳥，他在朱鷺的幫助下發(fā)明了數(shù)，計算、幾何學和天文學，還有棋類游戲等。
柏拉圖常常充滿了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亞里士多德最后終于用完全概念化的語言談論數(shù)學了，即談論統(tǒng)一的、有著自己發(fā)展目的的數(shù)學。在他的《形而上學》（Ｍeta－physics）第1卷第1章中，亞里士多德說：數(shù)學科學或數(shù)學藝術(shù)源于古埃及，因為在古埃及有一批祭司有空閑自覺地致力于數(shù)學研究。亞里士多德所說的是否是事實還值得懷疑，但這并不影響亞里士多德聰慧和敏銳的觀察力。在亞里士多德的書中，提到古埃及僅僅只是為了解決關(guān)于以下問題的爭論：
1．存在為知識服務的知識，純數(shù)學就是一個最佳的例子：
2．知識的發(fā)展不是由于消費者購物和奢華的需要而產(chǎn)生的。亞里士多德這種“天真”的觀點也許會遭到反對；但卻駁不倒它，因為沒有更令人信服的觀點。
就整體來說，古希臘人企圖創(chuàng)造兩種“科學”的方法論，一種是實體論，而另一種是他們的數(shù)學。亞里士多德的邏輯方法大約是介于二者之間的，而亞里士多德自己認為，在一般的意義上講他的方法無論如何只能是一種輔助方法。古希臘的實體論帶有明顯的巴門尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的輕微影響，實體論的特征僅在以后的斯多葛派和其它希臘作品的翻譯中才表現(xiàn)出來。數(shù)學作為一種有效的方法論遠遠地超越了實體論，但不知什么原因，數(shù)學的名字本身并不如“存在”和“理性”那樣響亮和受到肯定。然而，數(shù)學名稱的產(chǎn)生和出現(xiàn)，卻反映了古希臘人某些富于創(chuàng)造的特性。下面我們將說明數(shù)學這一名詞的來源。
“數(shù)學”一詞是來自希臘語，它意味著某種‘已學會或被理解的東西’或“已獲得的知識”，甚至意味著“可獲的東西”， “可學會的東西”，即“通過學習可獲得的知識”，數(shù)學名稱的這些意思似乎和梵文中的同根詞意思相同。甚至偉大的辭典編輯人利特雷（Ｅ．Ｌittre 也是當時杰出的古典學者），在他編輯的法語字典（1877年）中也收入了“數(shù)學”一詞。牛津英語字典沒有參照梵文。公元10世紀的拜占庭希臘字典“Ｓuidas”中，引出了“物理學”、“幾何學”和“算術(shù)”的詞條，但沒有直接列出“數(shù)學”—詞。
“數(shù)學”一詞從表示一般的知識到專門表示數(shù)學專業(yè)，經(jīng)歷一個較長的過程，僅在亞里士多德時代，而不是在柏拉圖時代，這一過程才完成。數(shù)學名稱的專有化不僅在于其意義深遠，而在于當時古希臘只有“詩歌”一詞的專有化才能與數(shù)學名稱的專有化相媲美。“詩歌”原來的意思是“已經(jīng)制造或完成的某些東西”，“詩歌”一詞的專有化在柏拉圖時代就完成了。而不知是什么原因辭典編輯或涉及名詞專有化的知識問題從來沒有提到詩歌，也沒有提到詩歌與數(shù)學名稱專有化之間奇特的相似性。但數(shù)學名稱的專有化確實受到人們的注意。
首先，亞里士多德提出， “數(shù)學”一詞的專門化使用是源于畢達哥拉斯的想法，但沒有任何資料表明對于起源于愛奧尼亞的自然哲學有類似的思考。其次在愛奧尼亞人中，只有泰勒斯（公元前640？－－546年）在“純”數(shù)學方面的成就是可信的，因為除了第歐根尼？拉爾修（Ｄiogenes Ｌaertius）簡短提到外，這一可信性還有一個較遲的而直接的數(shù)學來源，即來源于普羅克洛斯（Ｐroclus）對歐幾里得的評注：但這一可信性不是來源于亞里士多德，盡管他知道泰勒斯是一個“自然哲學家”；也不是來源于早期的希羅多德，盡管他知道塞利斯是一個政治、軍事戰(zhàn)術(shù)方面的“愛好者”，甚至還能預報日蝕。以上這些可能有助于解釋為什么在柏拉圖的體系中，幾乎沒有愛奧尼亞的成份。赫拉克利特（公元前500－－？年）有一段名言：“萬物都在運動中，物無常往”， “人們不可能兩次落進同一條河里”。這段名言使柏拉圖迷惑了，但赫拉克賴脫卻沒受到柏拉圖給予巴門尼德那樣的尊敬。巴門尼德的實體論，從方法論的角度講，比起赫拉克賴脫的變化論，更是畢達哥拉斯數(shù)學的強有力的競爭對手。
對于畢達哥拉斯學派來說，數(shù)學是一種“生活的方式”。事實上，從公元2世紀的拉丁作家格利烏斯（Ｇellius）和公元3世紀的希臘哲學家波菲利（Ｐorphyry）以及公元4世紀的希臘哲學家揚布利科斯（Ｉamblichus）的某些證詞中看出，似乎畢達哥拉斯學派對于成年人有一個“一般的學位課程”，其中有正式登記者和臨時登記者。臨時成員稱為“旁聽者”，正式成員稱為“數(shù)學家”。
這里“數(shù)學家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數(shù)學。畢達哥拉斯學派的精神經(jīng)久不衰。對于那些被阿基米德神奇的發(fā)明所深深吸引的人來說，阿基米德是唯一的獨特的數(shù)學家，從理論的地位講，牛頓是一個數(shù)學家，盡管他也是半個物理學家，一般公眾和新聞記者寧愿把愛因斯坦看作數(shù)學家，盡管他完全是物理學家。當羅吉爾？培根（Ｒoger Ｂacon，1214－－1292年）通過提倡接近科學的“實體論”，向他所在世紀提出挑戰(zhàn)時，他正將科學放進了一個數(shù)學的大框架，盡管他在數(shù)學上的造詣是有限的，當?shù)芽▋海ǎ膃scartes，1596－－1650年）還很年輕時就決心有所創(chuàng)新，于是他確定了“數(shù)學萬能論”的名稱和概念。然后萊布尼茨引用了非常類似的概念，并將其變成了以后產(chǎn)生的“符號”邏輯的基礎(chǔ)，而20世紀的“符號”邏輯變成了熱門的數(shù)理邏輯。
在18世紀，數(shù)學史的先驅(qū)作家蒙托克萊（Ｍontucla）說，他已聽說了關(guān)于古希臘人首先稱數(shù)學為“一般知識”，這一事實有兩種解釋：一種解釋是，數(shù)學本身優(yōu)于其它知識領(lǐng)域；而另一種解釋是，作為一般知識性的學科，數(shù)學在修辭學，辯證法，語法和倫理學等等之前就結(jié)構(gòu)完整了。蒙托克萊接受了第二種解釋。他不同意第一種解釋，因為在普羅克洛斯關(guān)于歐幾里得的評注中，或在任何古代資料中，都沒有發(fā)現(xiàn)適合這種解釋的確證。然而19世紀的語源學家卻傾向于第一種解釋，而20世紀的古典學者卻又偏向第二種解釋。但我們發(fā)現(xiàn)這兩種解釋并不矛盾，即很早就有了數(shù)學且數(shù)學的優(yōu)越性是無與倫比的。
數(shù)學起源于人類早期的生產(chǎn)活動，古巴比倫人從遠古時代開始已經(jīng)積累了一定的數(shù)學知識，并能應用實際問題。從數(shù)學本身看，他們的數(shù)學知識也只是觀察和經(jīng)驗所得，沒有綜合結(jié)論和證明，但也要充分肯定他們對數(shù)學所做出的貢獻。
數(shù)學的起源
通過“建�！迸c世界打交道
大自然是一個復雜多變、險象環(huán)生的處所，棲息地的變化、掠食動物的襲擊、食物的匱乏……一個有機體的生存取決于它感知周圍環(huán)境的能力。但不管是野牛估量獅群的數(shù)量和塊頭，以便做出戰(zhàn)斗/逃跑的決定；還是椋鳥在空中時刻與鄰伴維持適當?shù)木嚯x，以便保持隊形；或者羊群循著水草豐茂的路線覓食……所有這一切活動，按倫敦大學神經(jīng)學家卡爾·菲力斯頓的說法，都意味著在做數(shù)學。
“因為數(shù)學有一種簡單、節(jié)儉和對稱的性質(zhì)，如果你把它當作一種語言，會比其他描述世界的方法更勝一籌。從海豚到黏菌，幾乎所有生命都能從數(shù)學上去理解這個世界，以便為自己的生存服務，” 他說。
現(xiàn)在不是有很多“建�！北荣悊�？為一個復雜過程，建立一個相對簡單的數(shù)學模型，然后輸入?yún)?shù)，看看不同情況下的運行結(jié)果。那么，菲力斯頓的話其實意思就是：任何形式的生命都需要通過對其生存的環(huán)境進行“建模”，才能發(fā)揮作用。
菲力斯頓的這個看法可追溯到1970年代，當時控制論提出一項原則：為了提供有效的控制，一個機器人必須先對自己與環(huán)境的作用，建立一個數(shù)學模型，才能據(jù)此行動。此后的人工智能研究，差不多都遵循了這條原則。今天，人類能在人工智能領(lǐng)域取得這么大的成就，也要歸功于這條原則。
既然機器人是通過“建模”與外部世界互動的，那么一個合理的推測是：生物在某種程度上也是通過“建�！备澜绱蚪坏赖�。
舉個例子。當一頭野牛注意到一頭獅子在逼近時，它就會本能地調(diào)動一個叫“逃跑/戰(zhàn)斗”的決策機制，根據(jù)自己對獅子塊頭、距離遠近以及對自己力量的估計，決定是逃跑還是戰(zhàn)斗。這個決策機制，從功能上說，可看作是一個數(shù)學模型，輸入“獅子塊頭”“距離”“自己的力量”等參數(shù)，輸出“逃跑”或“戰(zhàn)斗”的結(jié)果。任何一項參數(shù)改變，都可能導致輸出結(jié)果不同。
發(fā)展出精確的數(shù)感為了糾正感官的偏差
既然是數(shù)學模型，當然就要對現(xiàn)實做些簡化，不可能面面俱到。尤其對于生命來說，當危險臨近時，迅速行動才是主要的，準確倒退居次要。譬如上述“逃跑/戰(zhàn)斗”的模型中，考慮那三項因素大致就差不多了，至于“獅子毛色如何”，“天空會不會下雨”等因素，都可以不考慮�？紤]因素太多，決策就慢下來，進而影響行動速度。
正是我們這種與世界打交道的方式，決定了我們的感官存在這樣那樣不盡人意的偏差。
以心理學上反映心理量和物理量之間關(guān)系的韋伯-費希納定律為例。這條定律說：我們辨別兩個感覺差別的能力，隨感覺強度的增加而減弱。比如用手提重物，你很容易區(qū)分1千克和2千克，但要辨別21千克和22千克，就不那么容易了。對于亮度、音量等的辨別能力也同樣如此。
讓我們自豪的是，盡管人類和其他動物的感官都有著同樣的偏差，但人類已經(jīng)發(fā)展出識別和糾正偏差的能力。最明顯的是，我們發(fā)明了數(shù)：這是一種符號系統(tǒng)，它讓我們立即判斷出（21與22）和（1與2）差距是一樣的。
與生俱來的是“數(shù)覺”還是“量覺”？
那么，這種工具是怎么發(fā)展起來的呢？
長期以來，一種觀點認為：我們天生就有一種對“數(shù)”的意識，就像我們天生就能意識到色彩一樣。1997年，法國心理學家德阿納提出一個假說，認為進化賦予人類和其他動物一種“數(shù)覺”，即立即覺察一堆物體數(shù)量的本能。譬如說，三顆紅色的珠子會產(chǎn)生數(shù)“3”的感覺，正如它們能產(chǎn)生“紅”的感覺。
支持這種本能觀點的證據(jù)很多。麻省理工學院的心理學家發(fā)現(xiàn)，6個月大的嬰兒已能在8個點和16個點的點陣之間做出區(qū)分。
還有研究顯示，人類本能上具有在空間上通過虛構(gòu)一條“數(shù)字線”，來表示數(shù)的傾向。比如說，我報給你一串數(shù)，請你在紙上記下。盡管我并沒有吩咐你怎么去記，但你還是會按小的在左，大的在右的方式寫下這些數(shù)，哪怕你是個左撇子也不例外。這是因為你在記數(shù)字時，會在紙面上不自覺地虛構(gòu)一條“數(shù)字線”；在這條線上，數(shù)值從左到右要按從小到大的順序排列。這是一種本能。
甚至有證據(jù)表明，數(shù)覺在動物中也存在（見拓展閱讀“動物有數(shù)學本能嗎？”）。
所以，按本能論的觀點，我們天生具有“數(shù)覺”，隨后以此作為“種子”，經(jīng)過幾千年文明的發(fā)揚光大，才有今天這么龐大復雜的數(shù)學體系。
但不久，一些研究者對這些證據(jù)提出懷疑。例如他們說，嬰兒能把兩列點陣區(qū)別開來，也許依靠的不是它們在數(shù)量上的差別，而是基于其他屬性，比如點陣的空間位置分布或覆蓋的面積等。這些線索涉及的是量，不是數(shù)；雖然量也跟數(shù)相關(guān)，但精確度上要差一些，不過因為比數(shù)更直觀，似乎更有可能被嬰兒利用。譬如兩堆球，判斷哪堆多哪堆少，總比說出每一堆的具體數(shù)目要更直觀，也更容易一些。
由此，出現(xiàn)了一個不同的假說：我們與生俱來的不是“數(shù)覺”，而是“量覺”，即感知事物的量（如大小、強度等）的能力。
對兒童更精確的測試似乎也傾向于支持這種觀點。例如，小于4歲的孩子不能理解5個橘子和5只西瓜有什么共同點——都是5。對他們而言，5只西瓜僅僅意味著比5個橘子在“量”上更多。
此外，即使教幼兒數(shù)數(shù)的動作，也不能立即傳達數(shù)的意義，必須通過“量”的比較，他們才能掌握“數(shù)”的概念。這就怪不得幼兒園的老師教孩子數(shù)數(shù)，或者做加減運算，要輔以小木棍、小球之類的道具。
精確的數(shù)量感是文明發(fā)展的產(chǎn)物
如果我們接受后一種觀點，那么，我們后來能產(chǎn)生精確的數(shù)量感，發(fā)明出數(shù)來精確地表示量，只能說是文明的產(chǎn)物了。
文化對數(shù)的認知影響之大，超乎我們的想象。以巴布亞新幾內(nèi)亞的Yupno人為例。他們的語言雖然并不原始，卻連表示“一個比另一個大或小”的說法都沒有。Yupno并不是唯一擁有不強調(diào)數(shù)的語言的人。一項對189種澳大利亞原住民語言的研究，發(fā)現(xiàn)其中四分之三的語言中沒有表示大于3或4的數(shù)的詞匯。
這暗示，今天我們大多數(shù)人所擁有的精確的數(shù)量感，是文明發(fā)展到一定度的產(chǎn)物，當諸如農(nóng)業(yè)和貿(mào)易等需要時，它才會出現(xiàn)。
甚至在我們自己當中，對數(shù)的認知也深受職業(yè)、教育等這類文化因素的影響。2016年，研究人員對15名專業(yè)數(shù)學家和15名非數(shù)學家學者的大腦進行了掃描。他們發(fā)現(xiàn)了一個涉及數(shù)學思維的腦區(qū)；當數(shù)學家思考代數(shù)、幾何和拓撲學問題時，這個腦區(qū)會被激活；但是當他們思考非數(shù)學問題時，這個腦區(qū)就不會活躍起來。而在其他學者中，不論思考數(shù)學問題還是非數(shù)學問題，這個腦區(qū)都不活躍。
這個結(jié)果表明，教育和職業(yè)所養(yǎng)成的習慣，已經(jīng)深深改變了數(shù)學家們思考數(shù)學時的思維方式。文化的影響之巨，由此可見一斑。
文化是什么時候把我們曾經(jīng)的模糊本能（“量覺”）塑造成能精確識別數(shù)的能力（“精確的數(shù)量感”）的呢？確切時間目前還不清楚。人類處理數(shù)的最早證據(jù)來自南非萊邦博山脈的博德山洞。在那里，考古學家們發(fā)現(xiàn)了年齡為4.4萬的有缺口的骨頭，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29個痕跡。人類學家認為，這些痕跡表明，這塊骨頭類似原始人的“賬目棒”，是用來輔助計數(shù)的。說明那個時候人類就已經(jīng)學會有意識地用符號表達和操縱數(shù)目了。
公元前4千年左右，在底格里斯-幼發(fā)拉底河谷（現(xiàn)在伊拉克的一個地區(qū)），出現(xiàn)了美索不達米亞文明。在這種文明中，計數(shù)和測量達到了新的高度。這同樣跟文明的發(fā)展需要分不開。美索不達米亞人需要記錄天文歷法，丈量土地面積，衡量谷物收成，甚至記錄重量。然后隨著人類走向海洋，或者研究天空，我們開始發(fā)展導航和天文觀測所需要的數(shù)學。甚至到了現(xiàn)代，商業(yè)的需要也仍在推動數(shù)學的發(fā)展。譬如，一些最復雜的數(shù)學正是為華爾街的股票和債券交易而開發(fā)的。
拓展閱讀:動物有數(shù)學本能嗎？
關(guān)于人類是否天生具有“數(shù)覺”的爭論，讓持肯定意見的人經(jīng)常轉(zhuǎn)向從動物方面尋求支持。如果我們的遠親能表現(xiàn)出一定的數(shù)學能力，那這就意味著我們自己對數(shù)的感覺也必定先于文化的發(fā)展。
一些動物個體被證明表現(xiàn)出非凡的數(shù)覺天賦。亞歷克斯，一只經(jīng)過訓練的非洲灰鸚鵡，在80%的時間里能正確識別出2到6個物體的集合。Ai，日本靈長類動物學家訓練出來的.一只黑猩猩，能做同樣的事情。
但也有人爭辯說，這些動物并沒有掌握數(shù)的象征意義。相反，它們只是在經(jīng)過上千次的訓練之后，能通過聯(lián)想來學習數(shù)。這和我們訓練動物去做它們在野外做不到的事情沒什么不同。比如在自然狀態(tài)下，讓大象戴著滑稽帽子一條腿站在凳上是不可想象的，而經(jīng)過訓練再做這類事情，就沒什么可稀奇的了。
但越來越多的證據(jù)表明，動物在自然狀態(tài)下也能表現(xiàn)出接近“數(shù)覺”的能力。20世紀90年代早期，有觀察證明，獅子能區(qū)分一頭獅子和三頭獅子的吼聲。在2017年2月的一次會議上，研究人員還報告說，一些青蛙在擇偶過程中，當聽到與之競爭的青蛙的叫聲時，會在叫聲數(shù)量上與競爭者一爭高低。
這些發(fā)現(xiàn)表明，動物確實有一種接近“數(shù)覺”的本能。換句話說，這種本能為人類和許多其他動物共同擁有。
數(shù)學的本質(zhì)
“數(shù)學是大自然的語言”
目今，人類已經(jīng)建立了一座巨大的數(shù)學金字塔。在過去5千年左右的時間里，數(shù)學已經(jīng)擴張到更加抽象的領(lǐng)域，似乎進一步脫離了周圍的現(xiàn)實世界和普通人的理解范圍。
然而，我們對宇宙的秘密了解越多，數(shù)學上的新發(fā)明就越能描述這些秘密。例如，當大衛(wèi)·希爾伯特發(fā)展了一種高度抽象的代數(shù)來處理無窮多個維度而不是熟悉的空間三維時，沒有人能預見到這種代數(shù)能在量子力學中得到應用。但不久之后證明，希爾伯特的這套數(shù)學——即所謂的“希爾伯特空間”——是我們理解詭秘的量子世界的關(guān)鍵。
數(shù)學和物理之間這種普遍存在的聯(lián)系，使我們想起幾個世紀前伽利略說過的一句話“數(shù)學是大自然的語言”。對今天從事自然科學研究的人來說，數(shù)學幾乎是一門必備的工具。甚至長期抵制數(shù)學的生物學，也在慢慢地屈服：人們已經(jīng)見證了數(shù)學在基因組學或神經(jīng)科學中的廣泛應用。比如，DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)就與一個叫“傅里葉分析”的數(shù)學工具分不開。神經(jīng)生物學則越來越依賴拓撲學、圖論等數(shù)學學科。
數(shù)學自身取得的輝煌成就以及它在現(xiàn)實中無所不在的應用，讓一些人產(chǎn)生一種“狂妄”的看法：數(shù)學是一切，一切皆數(shù)學；宇宙是一個數(shù)學結(jié)構(gòu)，它只有數(shù)學性質(zhì)。這種看法與古希臘畢達哥拉斯學派“一切皆數(shù)，數(shù)是萬物的本源”的神秘思想遙相呼應。
數(shù)學是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明？
歷史上，人們曾為“數(shù)學是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？”發(fā)生過激烈的爭論。按“數(shù)學是一切”的觀點，數(shù)學顯然是“發(fā)現(xiàn)”而不是“發(fā)明”，因為它早已存在那兒，我們所做的只是發(fā)現(xiàn)而已。
但事情也許沒那么簡單：當問及“數(shù)學是被發(fā)明的還是被發(fā)現(xiàn)的？”的時候，人們往往有一種先入為主的前提，好像兩者是相互排斥的。如果你發(fā)明了它，你就不會是發(fā)現(xiàn)了它，如此等等。但這不是一個非此即彼的命題。
想想古希臘數(shù)學家歐幾里德編纂的《幾何原本》，它搜集了古希臘所有的數(shù)學知識，并編纂了一條條幾何定律。歐幾里德把他的工作建立在一系列公理之上。這些公理既不能證明，也不能證偽，我們只能說它們是“被發(fā)明的”。其中最著名的一條就是“平行線公理”：兩條平行線永不相交。隨著時間的推移，從這些公理中衍生出很多的規(guī)則和關(guān)系，并被后人證明為定理。從某種意義上說，他們是“發(fā)現(xiàn)”了歐幾里德幾何學的景觀。
但是幾千年后，有數(shù)學家另起爐灶，決定采用新公理去發(fā)現(xiàn)新的幾何王國。這些新公理與歐幾里得的公理是矛盾的。例如，因德國數(shù)學家黎曼而得名的黎曼幾何，明確依賴于“平行線可以相交”這一思想。這個非正統(tǒng)的出發(fā)點把我們引向了一個廣闊的數(shù)學世界，愛因斯坦用其來闡述他的廣義相對論。
數(shù)學能否解釋自己的起源？
但是，不管我們從哪一套公理出發(fā)，數(shù)學可能不像我們所以為的那樣是一套完整的思想體系。對于這一點，我們要歸功于奧地利邏輯學家哥德爾的不完備性定理所提供的洞見。哥德爾證明，在任何形式的公理和定理體系里，有一些既不能證明對，也不能證明錯的陳述。換句話說，有些問題數(shù)學可以問，但它永遠無法回答。像歐幾里得幾何中的“平行線永不相交”就是一例，歐幾里得幾何體系自身無法提供證明。我們只能說：“暫且假設它是對的，來看看會推出什么結(jié)果……”
在這種情況下，我們說數(shù)學是普遍真理，或許還為時尚早。因為真理嘛，對的就是對的，不能說“假設它是對的”（比如上帝存在就說存在，不存在就說不存在，不能說“假設他存在”）。再者，人類迄今所建立的數(shù)學體系，也許不過是“數(shù)學叢林”的一個小角落，誰敢保證它就代表了宇宙整體呢？
當前，能不能完全用數(shù)學來描述意識，是數(shù)學面臨的一個非常大的挑戰(zhàn)。我們知道，數(shù)學本身就是人類意識的產(chǎn)物，現(xiàn)在反過來要用它去解釋意識，那就意味著要數(shù)學去解釋自己的起源。它能勝任嗎？ 如果能解釋，也就算了；如果不能，那麻煩就大了。因為既然連“大自然的語言”數(shù)學都解釋不了意識，那意識還能用什么來解釋呢？或者反過來，迫使我們追問“難道數(shù)學真是大自然的語言嗎？”
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