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常用的數(shù)學(xué)思想方法

時(shí)間:2022-01-26 19:49:46 數(shù)學(xué) 我要投稿

常用的數(shù)學(xué)思想方法大全

  在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,有哪些常見的思想方法呢?下面是小編網(wǎng)絡(luò)整理的常見的數(shù)學(xué)思想方法以供大家學(xué)習(xí)。

常用的數(shù)學(xué)思想方法大全

  常用的數(shù)學(xué)思想方法 篇1

  1、數(shù)形結(jié)合思想:就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙和諧地結(jié)合起來,并充分利用這種結(jié)合,尋求解體思路,使問題得到解決。

  2、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想:事物之間是相互聯(lián)系、相互制約的,是可以相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)學(xué)學(xué)科的各部分之間也是相互聯(lián)系,可以相互轉(zhuǎn)化的。在解題時(shí),如果能恰當(dāng)處理它們之間的相互轉(zhuǎn)化,往往可以化難為易,化繁為簡。如:代換轉(zhuǎn)化、已知與未知的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化、具體與抽象的轉(zhuǎn)化、部分與整體的轉(zhuǎn)化、動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化等等。

  3、分類討論的思想:在數(shù)學(xué)中,我們常常需要根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異,分各種不同情況予以考查,這種分類思考的方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,同時(shí)也是一種重要的解題策略。

  4、待定系數(shù)法:當(dāng)我們所研究的數(shù)學(xué)式子具有某種特定形式時(shí),要確定它,只要求出式子中待確定的字母得值就可以了。為此,把已知條件代入這個(gè)待定形式的式子中,往往會(huì)得到含待定字母的方程或方程組,然后解這個(gè)方程或方程組就使問題得到解決。

  5、配方法:就是把一個(gè)代數(shù)式設(shè)法構(gòu)造成平方式,然后再進(jìn)行所需要的變化。配方法是初中代數(shù)中重要的變形技巧,配方法在分解因式、解方程、討論二次函數(shù)等問題,都有重要的作用。

  6、換元法:在解題過程中,把某個(gè)或某些字母的式子作為一個(gè)整體,用一個(gè)新的字母表示,以便進(jìn)一步解決問題的一種方法。換元法可以把一個(gè)較為復(fù)雜的式子化簡,把問題歸結(jié)為比原來更為基本的問題,從而達(dá)到化繁為簡,化難為易的目的。

  7、分析法:在研究或證明一個(gè)命題時(shí),又結(jié)論向已知條件追溯,既從結(jié)論開始,推求它成立的充分條件,這個(gè)條件的成立還不顯然,則再把它當(dāng)作結(jié)論,進(jìn)一步研究它成立的充分條件,直至達(dá)到已知條件為止,從而使命題得到證明。這種思維過程通常稱為“執(zhí)果尋因”

  8、綜合法:在研究或證明命題時(shí),如果推理的方向是從已知條件開始,逐步推導(dǎo)得到結(jié)論,這種思維過程通常稱為“由因?qū)Ч?/p>

  9、演繹法:由一般到特殊的推理方法。

  10、歸納法:由一般到特殊的推理方法。

  11、類比法:眾多客觀事物中,存在著一些相互之間有相似屬性的事物,在兩個(gè)或兩類事物之間,根據(jù)它們的某些屬性相同或相似,推出它們在其他屬性方面也可能相同或相似的推理方法。類比法既可能是特殊到特殊,也可能一般到一般的推理。

  常用的數(shù)學(xué)思想方法 篇2

  數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式,即解決數(shù)學(xué)具體問題時(shí)所采用的方式、途徑和手段,也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。實(shí)質(zhì)上兩者的本質(zhì)是相同的,差別只是站在不同的角度看問題,通;旆Q為思想方法。數(shù)學(xué)思想方法的自覺運(yùn)用會(huì)使我們運(yùn)算簡潔、推理機(jī)敏,是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。常見的數(shù)學(xué)思想方法有:數(shù)形結(jié)合方法、對應(yīng)思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、猜想驗(yàn)證思想方法等。下面就以自己的教學(xué)實(shí)踐為例談?wù)勗趯?shí)際教學(xué)中滲透這些數(shù)學(xué)思想方法的一些粗淺做法。

  一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

  數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對象,數(shù)離不開形,形離不開數(shù),一方面抽象的數(shù)學(xué)概念,復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系,借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化。另一方面復(fù)雜的形體可以用簡單的數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。

  在小學(xué)一年級(jí)剛開始學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí),都是以實(shí)物進(jìn)行引入,再從中學(xué)習(xí)數(shù)字的實(shí)際含義。例如學(xué)習(xí)“6的認(rèn)識(shí)”時(shí),先出示主題圖,問學(xué)生圖中有些什么?學(xué)生從中數(shù)出6朵小花,6只小鳥,6個(gè)氣球。從而感知5的某些具體意義。再從實(shí)物中慢慢抽象成某一特定物體,利用學(xué)生的學(xué)具小棒擺出由6根小棒組成的任何圖形,從而讓學(xué)生在動(dòng)手的過程中,不僅表現(xiàn)出自己的獨(dú)特創(chuàng)意,而且更深一層地理解6的實(shí)際意義;第三層次是利用黑板進(jìn)行畫6個(gè)圓,6個(gè)正方形,6個(gè)三角形等特定圖形來代表6,從而慢慢抽象至數(shù)字6。這樣從實(shí)物至圖形,在抽象到數(shù)字,整個(gè)過程應(yīng)該符合一年級(jí)小學(xué)生的特點(diǎn),也是數(shù)形結(jié)合思想的一種滲透。

  二、對應(yīng)思想方法

  利用數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系來思考數(shù)學(xué)問題,就是對應(yīng)思想。尋找數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系,也是解答應(yīng)用題的一種重要的思維方式。

  在低、中年級(jí)整數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練時(shí),教師就應(yīng)該讓學(xué)生明白數(shù)量之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。

  例如:水果店上午賣出蘋果6筐,下午又賣出同樣的蘋果8筐,比上午多賣100元,每筐蘋果多少元? 這里存在著錢數(shù)和筐數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,學(xué)生如果能看出下午比上午多賣的100元對應(yīng)的筐數(shù)是(8-6)筐,此題就迎刃而解了,即100÷(8-6)=50(元)。

  此外,在教學(xué)歸一問題、相遇問題時(shí),都要讓學(xué)生找到題中數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。解決問題對于小學(xué)生是個(gè)抽象的問題,特別對于低、中年級(jí)學(xué)生更難理解。但找到了對應(yīng)關(guān)系,也就找到了解題的關(guān)鍵。

  三、轉(zhuǎn)化思想方法

  轉(zhuǎn)化就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),采用某種手段將一個(gè)問題轉(zhuǎn)化成為另外一個(gè)問題來解決。一般是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

  例如:上“整十、整百相加減”一課時(shí),先讓學(xué)生觀察,然后問一問,能不能把整十、整百相加減化為我們以前所學(xué)過的幾加幾,幾減幾,這樣學(xué)生不僅很快能掌握新學(xué)得知識(shí),還可以自己解決整百相加減。這正是再滲透轉(zhuǎn)化思想的方法。

  四、猜想驗(yàn)證思想方法

  猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說:“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想,然后加以證實(shí)。”因此,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要重視猜想驗(yàn)證思想方法的滲透,以增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)探索和獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展。

  例如:教“乘法分配律”一課時(shí),我設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)環(huán)節(jié):

  1、出示例題:(1)(6+8)×25 (2)6×25+8×25

  學(xué)生獨(dú)自計(jì)算結(jié)果。

  2、討論兩個(gè)算式的異同點(diǎn)。

  3、根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)舉出類似的例子,并加以計(jì)算。

  4、驗(yàn)證后,總結(jié)歸律。

  這樣,通過算、討論、說、算、說,學(xué)生初步感知了乘法分配律。至此,猜想乘法分配律已是水到渠成。

  現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵極為豐富,諸如還有集合思想、極限思想、優(yōu)化思想、統(tǒng)計(jì)思想、等等,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都有所涉及。我們廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師要做教學(xué)有心人,有意滲透,有意點(diǎn)撥,重視數(shù)學(xué)史的滲透,重視課堂教學(xué)小結(jié),要以適應(yīng)小學(xué)生年齡特點(diǎn)的大眾化、生活化方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生通過現(xiàn)實(shí)活動(dòng),主動(dòng)參與、自主探究,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方法提出問題、分析問題、解決問題,從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實(shí)、有效地發(fā)展,進(jìn)而提高全民族的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)學(xué)思想方法給出了解決問題的方向,給出了解決問題的策略。這就需要教師挖掘、提煉隱含于教材的思想方法,納入到教學(xué)目標(biāo)。有目的、有計(jì)劃、有步驟地精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程,有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法。

  常用的數(shù)學(xué)思想方法 篇3

  一、模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景

  模糊數(shù)學(xué)是在特定的歷史背景中產(chǎn)生的,它是數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。

  首先,現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量模糊的量,對這類量的描述和研究需要一種新的數(shù)學(xué)工具。我們知道,現(xiàn)實(shí)世界中的量是多種多樣的,如果按著界限是否分明,可把這無限多樣的量分為兩類:一類是明晰的,另一類是模糊的。實(shí)踐表明,在自然界、生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)以及生活中,模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現(xiàn)實(shí)世界事物和現(xiàn)象的狀態(tài)反映,在量上是沒有明晰界限的。

  模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前的數(shù)學(xué),只能精確地描述和研究那些界限分明的量,即明晰的量,把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量,只有用一種“模糊”的方法去描述和處理,才能使結(jié)果符合實(shí)際。因此,隨著社會(huì)實(shí)踐的深化和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,對“模糊”數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究也就成為十分必要的了。

  其次,電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展為模糊數(shù)學(xué)的誕生準(zhǔn)備了搖籃。自本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)問世以來,電子計(jì)算機(jī)在生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。電子計(jì)算機(jī)發(fā)展的一個(gè)重要方向是模擬人腦的思維,以便能處理生物系統(tǒng)、航天系統(tǒng)以及各種復(fù)雜的社會(huì)系統(tǒng)。而人腦本身就是一種極其復(fù)雜的系統(tǒng)。人腦中的思維活動(dòng)之所以具有高度的靈活性,能夠應(yīng)付復(fù)雜多變的環(huán)境,一個(gè)重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時(shí)在起作用。一般說來,邏輯思維活動(dòng)可用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻畫,而非邏輯思維活動(dòng)卻具有很大的模糊性,無法用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻劃。因此,以二值邏輯為理論基礎(chǔ)的電子計(jì)算機(jī),也就無法真實(shí)地模擬人腦的思維活動(dòng),自然也就不具備人腦處理復(fù)雜問題的能力。這對電子計(jì)算機(jī)特別是人工智能的發(fā)展,無疑是一個(gè)極大的障礙。為了把人的自然語言算法化并編入程序,讓電子計(jì)算機(jī)能夠描述和處理那些具有模糊量的事物,從而完成更為復(fù)雜的工作,就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)理論。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接背景。

  模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國加利福尼亞大學(xué)的札德教授。為了改進(jìn)和提高電子計(jì)算機(jī)的功能,他認(rèn)真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)-集合論。他認(rèn)為,要想從根本上解決電子計(jì)算機(jī)發(fā)展與數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾,必須建立起一種新的集合理論。1965年,他發(fā)表了題為《模糊集合》的.論文,由此開拓出了模糊數(shù)學(xué)這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

  二、模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)

  明晰數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是普通集合論,模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手,建立起模糊數(shù)學(xué)的。

  模糊集合論與普通集合論的根本區(qū)別,在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對于這種集合,一個(gè)事物與它有著明確的隸屬關(guān)系,要么屬于這個(gè)集合,要么不屬于這個(gè)集合,兩者必居其一,不可模棱兩可。如果用函數(shù)關(guān)系式表示,可寫成

  這里的A(u)稱為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)的邏輯基礎(chǔ)是二值邏輯,它是對事物“非此即彼”狀態(tài)的定量描述,但不能用于刻劃某些事物在中介過渡時(shí)所呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性。例如,取A為老年人集合,u為一個(gè)年齡為50歲的人,我們拿不出什么令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的局限之所在。

  與普通集合不同,模糊集合的邏輯基礎(chǔ)是多值邏輯。對于這種集合,一個(gè)事物與它沒有“屬于”或“不屬于”這種絕對分明的隸屬關(guān)系,因而也就不能用特征函數(shù)A(u)來描述。那么,怎樣才能定量地描述模糊集合的性質(zhì)和特征呢?模糊集合論的創(chuàng)立者札德給出了隸屬函數(shù)的概念,用以代替普通集合論中的特征函數(shù)概念。隸屬函數(shù)的實(shí)質(zhì),是將特征函數(shù)由二值{0,1}推廣到[0,1]閉區(qū)間上的任意值。通常把隸屬函數(shù)表示為μ(u),它滿足

  0≤μ(u)≤1(或記作μ(u)∈[0,1])

  有了隸屬函數(shù)概念,就可給模糊集合下一個(gè)準(zhǔn)確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義:

  隸屬函數(shù)的選取是一個(gè)較為復(fù)雜的問題,目前還沒有一個(gè)固定和通用的模式,它依問題的不同可以有不同的表達(dá)形式。在許多情況下,它是憑借經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)分析確定的。

  例如,某小組有五名同學(xué),記作u1,u2,u3,u4,u5,取論域.現(xiàn)在取為由“性格穩(wěn)重”的同學(xué)組成的集合,顯然這是一個(gè)模糊集合。為確定每個(gè)同學(xué)隸屬于的程度,我們分別給每個(gè)同學(xué)的性格穩(wěn)重程度打分,按百分制給分,再除以100.

  這里實(shí)際上就是求隸屬函數(shù),如果打分的結(jié)果是

  u1得85分,u2得75分,u3得98分,u4得30分,u5得60分

  那么隸屬函數(shù)的值應(yīng)是

  可表示為

  還可表示為

  或

  普通集合與模糊集合有著內(nèi)在的聯(lián)系,這可由特征函數(shù)A(u)和隸屬函數(shù)的關(guān)系來分析。事實(shí)上,當(dāng)隸屬函數(shù)只取[0,1]閉區(qū)間的兩端點(diǎn)值0,1時(shí),隸屬函數(shù)也就退化為特征函數(shù)A(u),從而模糊子集也就轉(zhuǎn)化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況,模糊集合是普通集合的推廣,它們既相互區(qū)別,又相互聯(lián)結(jié),而且在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。正因?yàn)橛写藘?nèi)在的聯(lián)系,決定了模糊數(shù)學(xué)可以廣泛地使用明晰數(shù)學(xué)的方法,從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)存在著由此達(dá)彼的橋梁。

  模糊數(shù)學(xué)作為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科,雖然它的歷史很短,但由于它是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迫切需要下應(yīng)運(yùn)而生的,因而對于它的研究,無論是基礎(chǔ)理論還是實(shí)際應(yīng)用,都得到了迅速的發(fā)展。

  就其基礎(chǔ)理論而言,模糊數(shù)學(xué)研究的課題已涉及到廣泛的范圍,如模糊數(shù)、模糊關(guān)系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規(guī)劃、模糊邏輯、模糊識(shí)別和模糊控制等。

  在應(yīng)用方面,模糊數(shù)學(xué)的思想與方法正在廣泛滲透到科學(xué)和技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域,如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、語言學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論和人工智能等。同時(shí),在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的許多部門已取得明顯的社會(huì)效益。

  常用的數(shù)學(xué)思想方法 篇4

  一、集合的思想方法

  把一組對象放在一起,作為討論的范圍,這是人類早期就有的思想方法,繼而把一定程度抽象了的思維對象,如數(shù)學(xué)上的點(diǎn)、數(shù)、式放在一起作為研究對象,這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想,在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有所體現(xiàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。

  如用圓圈圖(韋恩圖)向?qū)W生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性,可以看作一個(gè)整體,這個(gè)整體就是一個(gè)集合。利用圖形間的關(guān)系則可向?qū)W生滲透集合之間的關(guān)系,如長方形集合包含正方形集合,平行四邊形集合包含長方形集合,四邊形集合又包含平行四邊行集合等。

  二、對應(yīng)的思想方法

  對應(yīng)是人的思維對兩個(gè)集合間問題聯(lián)系的把握,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)最基本的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要利用虛線、實(shí)線、箭頭、計(jì)數(shù)器等圖形將元素與元素、實(shí)物與實(shí)物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來,滲透對應(yīng)思想。

  如人教版一年級(jí)上冊教材中,分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對應(yīng)后,進(jìn)行多少的比較學(xué)習(xí),向?qū)W生滲透了事物間的對應(yīng)關(guān)系,為學(xué)生解決問題提供了思想方法。

  三、數(shù)形結(jié)合的思想方法

  數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個(gè)側(cè)面,把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題,就是數(shù)形結(jié)合思想!皵(shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖,促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展,溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則,也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要特點(diǎn),更是解決問題時(shí)常用的方法。

  例如,我們常用畫線段圖的方法來解答應(yīng)用題,這是用圖形來代替數(shù)量關(guān)系的一種方法。我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等,這些都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

  四、函數(shù)的思想方法

  恩格斯說:“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了!蔽覀冎,運(yùn)動(dòng)、變化是客觀事物的本質(zhì)屬性。函數(shù)思想的可貴之處正在于它是運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。學(xué)生對函數(shù)概念的理解有一個(gè)過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師在處理一些問題時(shí)就要做到心中有函數(shù)思想,注意滲透函數(shù)思想。

  函數(shù)思想在人教版一年級(jí)上冊教材中就有滲透。如讓學(xué)生觀察《20以內(nèi)進(jìn)位加法表》,發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起的和的變化的規(guī)律等,都較好的滲透了函數(shù)的思想,其目的都在于幫助學(xué)生形成初步的函數(shù)概念。

  五、極限的思想方法

  極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無限,從近似中認(rèn)識(shí)精確,從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法,它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié),了解它有重要意義。

  現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí),教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的,奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無限多個(gè),讓學(xué)生初步體會(huì)“無限”思想;在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中,1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù),它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的,是無限的;在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí),可讓學(xué)生體會(huì)線的兩端是可以無限延長的。

  六、化歸的思想方法

  化歸是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法;瘹w,是指將有待解決或未解決的的問題,通過轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去,以求得解決。客觀事物是不

  斷發(fā)展變化的,事物之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,是現(xiàn)實(shí)世界的普遍規(guī)律。數(shù)學(xué)中充滿了矛盾,如已知和未知、復(fù)雜和簡單、熟悉和陌生、困難和容易等,實(shí)現(xiàn)這些矛盾的轉(zhuǎn)化,化未知為已知,化復(fù)雜為簡單,化陌生為熟悉,化困難為容易,都是化歸的思想實(shí)質(zhì)。任何數(shù)學(xué)問題的解決過程,都是一個(gè)未知向已知轉(zhuǎn)化的過程,是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程;瘹w是基本而典型的數(shù)學(xué)思想。我們實(shí)施教學(xué)時(shí),也是經(jīng)常用到它,如化生為熟、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。

  如:小數(shù)除法通過“商不變性質(zhì)”化歸為除數(shù)是整數(shù)的除法;異分母分?jǐn)?shù)加減法化歸為同分母分?jǐn)?shù)加減法;異分母分?jǐn)?shù)比較大小通過“通分”化歸為同分母分?jǐn)?shù)比較大小等;在教學(xué)平面圖形求積公式中,就以化歸思想、轉(zhuǎn)化思想等為理論武器,實(shí)現(xiàn)長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計(jì)算公式間的同化和順應(yīng),從而構(gòu)建和完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

  七、歸納的思想方法

  在研究一般性性問題之前,先研究幾個(gè)簡單的、個(gè)別的、特殊的情況,從而歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì),這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程就是歸納思想的應(yīng)用過程。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用歸納思想,既可認(rèn)由此發(fā)現(xiàn)給定問題的解題規(guī)律,又能在實(shí)踐的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新的客觀規(guī)律,提出新的原理或命題。因此,歸納是探索問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理或公式的重要思想方法,也是思維過程中的一次飛躍。

  如:在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí),先由直角三角形、等邊三角形算出其內(nèi)角和度數(shù),再用猜測、操作、驗(yàn)證等方法推導(dǎo)一般三角形的內(nèi)角和,最后歸納得出所有三角形的內(nèi)角和為180度。這就運(yùn)用歸納的思想方法。

  八、符號(hào)化的思想方法

  數(shù)學(xué)發(fā)展到今天,已成為一個(gè)符號(hào)化的世界。符號(hào)就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。英國著名數(shù)學(xué)家羅素說過:“什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯!睌(shù)學(xué)離不開符號(hào),數(shù)學(xué)處處要用到符號(hào)。懷特海曾說:“只要細(xì)細(xì)分析,即可發(fā)現(xiàn)符號(hào)化給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來的極大方便,甚至是必不可少的!睌(shù)學(xué)符號(hào)除了用來表述外,它也有助于思維的發(fā)展。如果說數(shù)學(xué)是思維的體操,那么,數(shù)學(xué)符號(hào)的組合譜成了“體操進(jìn)行曲”,F(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分注意符號(hào)化思想的滲透。

  人教版教材從一年級(jí)就開始用“□”或“”代替變量x,讓學(xué)生在其中填數(shù)。例如:1+2=□,6+=8,7=□+□+□+□+□+□+□;再如:學(xué)校有7個(gè)球,又買來4個(gè),F(xiàn)在有多少個(gè)?要學(xué)生填出□○□=□(個(gè))。

  符號(hào)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中隨處可見,教師要有意識(shí)地進(jìn)行滲透。數(shù)學(xué)符號(hào)是抽象的結(jié)晶與基礎(chǔ),如果不了解其含義與功能,它如同“天書”一樣令人望而生畏。因此,教師在教學(xué)中要注意學(xué)生的可接受性。

  九、統(tǒng)計(jì)的思想方法

  在生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究時(shí),人們通常需要有目的地調(diào)查和分析一些問題,就要把收集到的一些原始數(shù)據(jù)加以歸類整理,從而推理研究對象的整體特征,這就是統(tǒng)計(jì)的思想和方法。例如,求平均數(shù)是一種理想化的統(tǒng)計(jì)方法。我們要比較兩個(gè)班的學(xué)習(xí)情況,以班級(jí)學(xué)生的平均數(shù)作為該班成績的標(biāo)志是有一定說服力的,這是一種最常用、最簡單方便的統(tǒng)計(jì)方法

  小學(xué)數(shù)學(xué)除滲透運(yùn)用了上述各數(shù)學(xué)思想方法外,還滲透運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法、假設(shè)的思想方法、比較的思想方法、分類的思想方法、類比的思想方法等。從教學(xué)效果看,在教學(xué)中滲透和運(yùn)用這些教學(xué)思想方法,能增加學(xué)習(xí)的趣味性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性;能啟迪思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)智能;有利于學(xué)生形成牢固、完善的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)?傊诮虒W(xué)中,教師要既重視數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的教學(xué),又注重?cái)?shù)學(xué)思想、方法的滲透和運(yùn)用,這樣無疑有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升,無疑有助于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展。

  常用的數(shù)學(xué)思想方法 篇5

  1、函數(shù)與方程思想

  (1)函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象,概括與提煉,在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時(shí),起著重要作用

  (2)方程思想是解決各類計(jì)算問題的基本思想,是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)

  高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點(diǎn)來考查

  2、數(shù)形結(jié)合思想:

  (1)數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式,即數(shù)與形兩個(gè)方面

  (2)在一維空間,實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系

  在二維空間,實(shí)數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系

  數(shù)形結(jié)合中,選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,在解答題中,考慮推理論證嚴(yán)密性,突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化

  3、分類與整合思想

  (1)分類是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法

  (2)從具體出發(fā),選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)

  (3)劃分只是手段,分類研究才是目的

  (4)有分有合,先分后合,是分類整合思想的本質(zhì)屬性

  (5)含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類與整合的研究,重點(diǎn)考查學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性

  4、化歸與轉(zhuǎn)化思想

  (1)將復(fù)雜問題化歸為簡單問題,將較難問題化為較易問題,將未解決問題化歸為已解決問題

  (2)靈活性、多樣性,無統(tǒng)一模式,利用動(dòng)態(tài)思維,去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法

  (3)高考重視常用變換方法:一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

  5、特殊與一般思想

  (1)通過對個(gè)例認(rèn)識(shí)與研究,形成對事物的認(rèn)識(shí)

  (2)由淺入深,由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論

  (3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識(shí)過程

  (4)構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列,尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置,利用特殊值、特殊方程

  (5)高考以新增內(nèi)容為素材,突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向

  6、有限與無限的思想:

  (1)把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究,是解決無限問題的必經(jīng)之路

  (2)積累的解決無限問題的經(jīng)驗(yàn),將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決是解決的方向

  (3)立體幾何中求球的表面積與體積,采用分割的方法來解決,實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割,再求和求極限,是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

  7、或然與必然的思想:

  (1)隨機(jī)現(xiàn)象兩個(gè)最基本的特征,一是結(jié)果的隨機(jī)性,二是頻率的穩(wěn)定性

  (2)偶然中找必然,再用必然規(guī)律解決偶然

  (3)等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是考查的重點(diǎn)

  常用的數(shù)學(xué)思想方法 篇6

  數(shù)學(xué)教學(xué)有兩條線,一條是明線即數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué),一條是暗線即數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維的載體,在教學(xué)中我們必須重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)。

  一、數(shù)學(xué)思想方法的界定

  數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí);數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的策略和程序,是數(shù)學(xué)思想的具體反映;數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法的載體,數(shù)學(xué)思想較之于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用數(shù)學(xué)方法又處于更高層次,它來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用的數(shù)學(xué)方法,在運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及方法處理數(shù)學(xué)問題時(shí),具有指導(dǎo)性的地位。對于學(xué)習(xí)者來說,運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程,當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度就會(huì)產(chǎn)生飛躍,從而上升為數(shù)學(xué)思想,一旦數(shù)學(xué)思想形成之后,便對數(shù)學(xué)方法起著指導(dǎo)作用。因此,人們通常將數(shù)學(xué)思想與方法看成一個(gè)整體概念——數(shù)學(xué)思想方法。

  二、初中階段應(yīng)滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法

  在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中至少應(yīng)該向?qū)W生滲透如下幾種主要的數(shù)學(xué)思想方法:

  1.分類討論的思想方法

  分類是通過比較數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn),然后根據(jù)某一種屬性將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類討論既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想,又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法,能克服思維的片面性,防止漏解。

  2.類比的思想方法

  類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類的對象間有部分屬性相同,而推出它們某種屬性也相同的推理形式,被稱為最有創(chuàng)造性的一種思想方法。

  3.數(shù)形結(jié)合的思想方法

  數(shù)形結(jié)合的思想方法是指將數(shù)(量)與(圖)形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思維策略。

  4.化歸的思想方法

  所謂“化歸”就是將要解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個(gè)較易問題或已經(jīng)解決的問題。

  5.方程與函數(shù)的思想方法

  運(yùn)用方程的思想方法,就是根據(jù)問題中已知量與教學(xué)法未知量之間的數(shù)量關(guān)系,運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言使問題轉(zhuǎn)化為解方程(組)問題。

  用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn),分析研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系,通過函數(shù)形式把這種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行刻劃并加以研究,從而使問題獲得解決,稱為函數(shù)思想方法。

  6.整體的思想方法

  整體的思想方法就是考慮數(shù)學(xué)問題時(shí)不是著眼于它的局部特征,而是把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上,通過對其全面深刻的觀察,從宏觀上、整體上認(rèn)識(shí)問題的實(shí)質(zhì),把一些彼此獨(dú)立,但實(shí)質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來處理的思想方法。

  常用的數(shù)學(xué)思想方法 篇7

  函數(shù)思想,是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想,是從問題中的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時(shí),還通過函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌,達(dá)到解決問題的目的。函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念,但它們之間有著密切的聯(lián)系,方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

  函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,其理論和應(yīng)用涉及各個(gè)方面,是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一條主線。這里所說的函數(shù)思想具體表現(xiàn)為:運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),解決函數(shù)的某些問題;以運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系,通過函數(shù)的形式把這種關(guān)系表示出來并加以研究,從而使問題獲得解決;對于一些從形式上看是非函數(shù)的問題,經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換或構(gòu)造,使這一非函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式,并運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)來處理這一問題,進(jìn)而使原數(shù)學(xué)問題得到順利地解決。尤其是一些方程和不等式方面的問題,可通過構(gòu)造函數(shù)很好的處理。

  方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間的等量關(guān)系,從而建立方程或方程組,通過解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決。尤其是對于一些從形式上看是非方程的問題,經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)變換或構(gòu)造,使這一非方程的問題轉(zhuǎn)化為方程的形式,并運(yùn)用方程的有關(guān)性質(zhì)來處理這一問題,進(jìn)而使原數(shù)學(xué)問題得到解決。

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