裂項(xiàng)與拆分的奧數(shù)題
裂項(xiàng)與拆分的奧數(shù)題1
有40枚棋子分別放入8個(gè)盒子里，要使每個(gè)盒子里都有棋子，那么其中的一個(gè)盒子里，最多能有多少棋子?
分析：要使每個(gè)盒子里都有棋子，那么每個(gè)盒子里面至少有1個(gè)球，即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33個(gè)球.
解答：解：因?yàn)橐姑總�(gè)盒子里都有棋子，那么每個(gè)盒子里面至少有1個(gè)球，而要使其中的一個(gè)盒子的球最多，則另外的7個(gè)盒子里面的球分別為1，
即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33個(gè)球.
答：其中的一個(gè)盒子里，最多能有33枚棋子.
裂項(xiàng)與拆分的奧數(shù)題2
題目：
若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去.再把盒子重排了一下.小聰回來(lái)，仔細(xì)查看，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子.問(wèn)：一共有多少只盒子?
分析：設(shè)原來(lái)小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子，這說(shuō)明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，而這只盒子里原來(lái)裝有(a+1)個(gè)小球.
同樣，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有(a+1)個(gè)小球，這只盒子里原來(lái)裝有(a+2)個(gè)小球.
類推，原來(lái)還有一只盒子裝有(a+3)個(gè)小球，(a+4)個(gè)小球等等，故原來(lái)那些盒子中裝有的.小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù).
所以將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)，據(jù)此解答.
解：設(shè)原來(lái)小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)小球和盒子，
這說(shuō)明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，而這只盒子里原來(lái)裝有(a+1)個(gè)小球.
同樣，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有(a+1)個(gè)小球，這只盒子里原來(lái)裝有(a+2)個(gè)小球.
類推，原來(lái)還有一只盒子裝有(a+3)個(gè)小球，(a+4)個(gè)小球等等，
故原來(lái)那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù).
將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，
因?yàn)?2=6×7，故可以看成7個(gè)6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個(gè)6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個(gè)加數(shù);
又因?yàn)?2=14×3，故可將42：13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù);
又因?yàn)?2=21×2，故可將42=9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù).
所以原問(wèn)題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.
答：一共有7只、4只或3只盒子.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是將問(wèn)題歸結(jié)為把42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和.
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