數(shù)學知識點:函數(shù)的概念
在日復一日的學習中，大家最熟悉的就是知識點吧？知識點也可以通俗的理解為重要的內(nèi)容。還在苦惱沒有知識點總結(jié)嗎？下面是小編為大家收集的數(shù)學知識點:函數(shù)的概念，僅供參考，歡迎大家閱讀。
數(shù)學知識點:函數(shù)的概念 1
十七世紀函數(shù)概念
十七世紀伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系。1637年前后笛卡爾(Descartes，法，1596-1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系，但因當時尚未意識到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用“function”(函數(shù))表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來表示變量間的關(guān)系。
十八世紀函數(shù)概念
1718年約翰·柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667-1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”他的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強調(diào)函數(shù)要用公式來表示。1748年，柏努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：“一個變量的函數(shù)是由該變量的一些數(shù)或常量與任何一種方式構(gòu)成的解析表達式。
1755，歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。”
18世紀中葉歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)給出了定義：“一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
十九世紀函數(shù)概念
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857)從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)�！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1822年傅里葉(Fourier，法國，1768——1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新層次。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德國，1805-1859)突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”這個定義避免了函數(shù)定義中對依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學家接受。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。
等到康托(Cantor，德國，1845-1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880-1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念把函數(shù)的對應關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象。
現(xiàn)代函數(shù)概念
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元�！�
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一、函數(shù)的概念
設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關(guān)系f，是對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。
注意：
如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式。
二、構(gòu)成函數(shù)的三要素
定義域、對應關(guān)系、值域。
由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))。
三、函數(shù)圖像知識歸納
�。�1）定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) ， (x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖像。
C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上，即記為C={ P(x,y) | y= f(x) ， x∈A }。
圖像C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
�。�2）畫法：
A. 描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來。
B. 圖像變換法（請參考必修4三角函數(shù)）：常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
（3）作用：
A. 直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；
B. 利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路，提高解題的速度。
C. 發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。
四、常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點
�。�1）解析法：必須注明函數(shù)的定義域——便于算出函數(shù)值。
（2）圖像法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征——便于查出函數(shù)值。
（3）列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征——便于量出函數(shù)值。
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