小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)
在我們平凡的學(xué)生生涯里，說(shuō)起知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)該沒有人不熟悉吧？知識(shí)點(diǎn)就是掌握某個(gè)問題/知識(shí)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)。還在苦惱沒有知識(shí)點(diǎn)總結(jié)嗎？以下是小編精心整理的小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)，希望能夠幫助到大家。
小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)1
整除的算式的特征：
1、除數(shù)、被除數(shù)都是自然數(shù)，且除數(shù)不為0。
2、被除數(shù)除以除數(shù)，商是自然數(shù)而沒有余數(shù)。
例：15能被5整除，我們就說(shuō)，15是5的
倍數(shù)，5是15的因數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)一：因數(shù)
問題一：一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積是12平方厘米，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是整數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們猜一猜這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？
所以12的因數(shù)有：
注意：1、在說(shuō)因數(shù)（或倍數(shù)）時(shí)，必須說(shuō)明誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)（或倍數(shù)）。不能單獨(dú)說(shuō)誰(shuí)是因數(shù)（或倍數(shù)）。2、因數(shù)和倍數(shù)不能單獨(dú)存在。
例1 18的因數(shù)有那些？
方法一：想18可以有哪兩個(gè)數(shù)相乘得到18=1×18 18=2×9 18=3×6
方法二：根據(jù)整除的意義得到
18÷1=18 18÷2=9 18÷3=6
所以18的因數(shù)有：
表示方法：
1、列舉法︰12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12
2、用集合表示︰
練習(xí)1：30的因數(shù)有哪些？36呢？
30的因數(shù)有：
36的因數(shù)有：
觀察：18的最小因數(shù)是（），的因數(shù)是（）
30的最小因數(shù)是（），的因數(shù)是）
36的最小因數(shù)是（），的因數(shù)是（）
一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是（），因數(shù)是（）
你要知道：
（1）1的因數(shù)只有1，的因數(shù)和最小的因數(shù)都是它本身。
�。�2）除1以外的整數(shù)，至少有兩個(gè)因數(shù)。
�。�3）任何自然數(shù)都有因數(shù)1。
知識(shí)點(diǎn)二：倍數(shù)
問題二：2的倍數(shù)有哪些？
2的倍數(shù)有：2，4，6，8 …
例1、小蝸牛找倍數(shù)（找出3的倍數(shù)）。
練習(xí)3、5的倍數(shù)有哪些？7的倍數(shù)呢？
5的倍數(shù)：
7的倍數(shù)：
一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（），一個(gè)數(shù)的最小的倍數(shù)是（），（）的倍數(shù)。
用字母表示因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系：a — b = c（a、b、c都是不為0的整數(shù)）a、b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。
說(shuō)一說(shuō)：在0、3、4、7、15、16、77、31、62中擇兩個(gè)數(shù)，說(shuō)一說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)？誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)？
1、根據(jù)算式：4×8=32
說(shuō)一說(shuō)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)？誰(shuí)是的倍數(shù)？
2、根據(jù)算式：63÷7=9
說(shuō)一說(shuō)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)？誰(shuí)是的倍數(shù)？
3、判斷：1.2÷0.2=6我們能說(shuō)0.2和6是1.2的因數(shù)；1.2是0.2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)嗎？為什么？
知識(shí)點(diǎn)三：質(zhì)數(shù)和合數(shù)
1、自然數(shù)按因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0四類。
�。�1）質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)。
�。�2）合數(shù)：除了1和它本身還有別的因數(shù)（至少有三個(gè)因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)）。
�。�3）1：只有1個(gè)因數(shù)�！�1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
注：
�、僮钚〉馁|(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，連續(xù)的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2、3。
�、诿總�(gè)合數(shù)都可以由幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘得到，質(zhì)數(shù)相乘一定得合數(shù)。
�、� 20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個(gè)（）
�、� 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個(gè)：（）
關(guān)系：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)質(zhì)數(shù)×質(zhì)數(shù)=合數(shù)
2、常見、最小
A的最小因數(shù)是：1；最小的奇數(shù)是：1；
A的因數(shù)是：本身；最小的偶數(shù)是：0；
A的最小倍數(shù)是：本身；最小的質(zhì)數(shù)是：2；
最小的自然數(shù)是：0；最小的合數(shù)是：4；
3、分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)分解成多個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。樹狀圖
例：
分析：先把36寫成兩個(gè)因數(shù)相乘的形式，如果兩個(gè)因數(shù)都是質(zhì)數(shù)就不再進(jìn)行分解了；如果兩個(gè)因數(shù)中海油合數(shù)，那我們繼續(xù)分解，一直分解到全部因數(shù)都是質(zhì)數(shù)為止。把36分解質(zhì)因數(shù)是：36=2×2×3×3
4、用短除法分解質(zhì)因數(shù)（一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式）。例：
分析：看上面兩個(gè)例子，分別是用短除法對(duì)18，30分解質(zhì)因數(shù)，左邊的數(shù)字表示“商”，豎折下面的'表示余數(shù)，要注意步驟。具體步驟是：
5、互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
兩個(gè)質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù)：5和7
兩個(gè)合數(shù)的互質(zhì)數(shù)：8和9
一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù)：7和8
6、兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：
�、�1和任何自然數(shù)互質(zhì)；
⑵相鄰兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；
⑶兩個(gè)質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；⑷2和所有奇數(shù)互質(zhì)；
�、少|(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；
三、經(jīng)驗(yàn)之談：
書寫分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果時(shí)不能把質(zhì)因數(shù)相乘寫在等號(hào)左邊，把合數(shù)寫在右邊，比如36=2×2×3×3就不能寫成2×2×3×3=36；
短除法是除法一種簡(jiǎn)化，利用短除法分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，除數(shù)和商都不能是1，因?yàn)?不是質(zhì)數(shù)
圖形的變換
1、軸對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，兩邊能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。
2、成軸對(duì)稱圖形的特征和性質(zhì)：①對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等；②對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；③對(duì)稱軸兩邊的圖形大小形狀完全相同。
3、物體旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)抓住三點(diǎn)：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度。旋轉(zhuǎn)只改變物體的位置，不改變物體的形狀、大小。
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一、圖形的變換
圖形變換的基本方式是平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)。
1、軸對(duì)稱：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。
�。�1）學(xué)過(guò)的軸對(duì)稱平面圖形：長(zhǎng)（正）方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸，長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸，正方形有4條對(duì)稱軸，等腰梯形有1條對(duì)稱軸，任意梯形和平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形。
�。�2）圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。
�。�3）對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。
�。�4）軸對(duì)稱圖形的特征和性質(zhì)：
①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等；
�、趯�(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；
�、蹖�(duì)稱軸兩邊的圖形大小、形狀完全相同。
對(duì)稱圖形包括軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形。平行四邊形（除棱形）屬于中心對(duì)稱圖形。
2、旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個(gè)圖形的變化較做旋轉(zhuǎn)，定點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，原圖形上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后成為的另一點(diǎn)成為對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
�。�1）生活中的旋轉(zhuǎn)：電風(fēng)扇、車輪、紙風(fēng)車
�。�2）旋轉(zhuǎn)要明確繞點(diǎn)，角度和方向。
�。�3）長(zhǎng)方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度與原來(lái)重合，正方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度與原來(lái)重合。等邊三角形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120度與原來(lái)重合。
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：
�。�1）圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)；
（2）其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
�。�3）旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變；
�。�4）兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)非別與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；
（5）旋轉(zhuǎn)中心是不動(dòng)的點(diǎn)。
3、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的畫法：旋轉(zhuǎn)要注意：順時(shí)針、逆時(shí)針、度數(shù)
二、因數(shù)和倍數(shù)
1、整除：被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，并且沒有余數(shù)。
整數(shù)與自然數(shù)的關(guān)系：整數(shù)包括自然數(shù)。
2、因數(shù)、倍數(shù)：大數(shù)能被小數(shù)整除時(shí)，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，小數(shù)是大數(shù)的因數(shù)。
例：12是6的倍數(shù)，6是12的因數(shù)。
�。�1）數(shù)a能被b整除，那么a就是b的倍數(shù)，b就是a的因數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)存在。
（2）一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，的因數(shù)是它本身。
一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法：成對(duì)地按順序找。
（3）一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身。
一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法：依次乘以自然數(shù)。
（4）2、3、5的倍數(shù)特征
1）個(gè)位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)。
2）一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。
3）個(gè)位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。
4）能同時(shí)被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍數(shù)）的的兩位數(shù)是90，最小的三位數(shù)是120。
同時(shí)滿足2、3、5的倍數(shù)，實(shí)際是求2×3×5=30的倍數(shù)。
5）如果一個(gè)數(shù)同時(shí)是2和5的倍數(shù)，那它的個(gè)位上的數(shù)字一定是0。
3、自然數(shù)按能不能被2整除來(lái)分：奇數(shù)、偶數(shù)。
自奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)。叫奇數(shù)。也就是個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)。
數(shù)偶數(shù)：能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)（0也是偶數(shù)），也就是個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)。
最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0。
關(guān)系：奇數(shù)+、—偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)+、—奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+、—偶數(shù)=偶數(shù)。
5、自然數(shù)按因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1三類。
質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)。
合數(shù)：除了1和它本身還有別的因數(shù)（至少有三個(gè)因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)）。
1：只有1個(gè)因數(shù)�！�1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，連續(xù)的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2、3。
每個(gè)合數(shù)都可以由幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘得到，質(zhì)數(shù)相乘一定得合數(shù)。
20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個(gè)（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個(gè)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以內(nèi)找質(zhì)數(shù)、合數(shù)的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數(shù)，是的就是合數(shù)，不是的就是質(zhì)數(shù)。
關(guān)系：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)質(zhì)數(shù)×質(zhì)數(shù)=合數(shù)
6、最小
A的最小因數(shù)是：1；A的因數(shù)是：A；A的最小倍數(shù)是：A；
最小的奇數(shù)是：1；最小的偶數(shù)是：0；最小的質(zhì)數(shù)是：2；最小的合數(shù)是：4；
最小的自然數(shù)是：0；
7、分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)分解成多個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。
用短除法分解質(zhì)因數(shù)（一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式）。
比如：30分解質(zhì)因數(shù)是：（30=2×3×5）
8、互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
兩個(gè)質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù)：5和7兩個(gè)合數(shù)的互質(zhì)數(shù)：8和9一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù)：7和8
兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：
�、�1和任何自然數(shù)互質(zhì)；⑵相鄰兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；⑶兩個(gè)質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；
⑷2和所有奇數(shù)互質(zhì)；⑸質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；
9、公因數(shù)、公因數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫這些數(shù)的公因數(shù)。其中的那個(gè)就叫它們的公因數(shù)。
用短除法求兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)的公因數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)連乘起來(lái)）
幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)只有1，就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)互質(zhì)。
如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，那么較小的數(shù)就是它們的公因數(shù)。
如果兩數(shù)互質(zhì)時(shí)，那么1就是它們的公因數(shù)。
10、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫這些數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的那個(gè)就叫它們的最小公倍數(shù)。
用短除法求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)）
用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（除到兩兩互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)）
如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，那么較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。
如果兩數(shù)互質(zhì)時(shí)，那么它們的積就是它們的最小公倍數(shù)。
11、求公因數(shù)和最小公倍數(shù)方法
用12和16來(lái)舉例
1、求法一：（列舉求同法）
公因數(shù)的求法：
12的因數(shù)有：1、12、2、6、3、4
16的因數(shù)有：1、16、2、8、4
公因數(shù)是4
最小公倍數(shù)的求法：
12的倍數(shù)有：12、24、36、48、…
16的倍數(shù)有：16、32、48、…
最小公倍數(shù)是48
2、求法二：（分解質(zhì)因數(shù)法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
公因數(shù)是：2×2=4（相同乘）
最小公倍數(shù)是：2×2 × 3×2×2= 48（相同乘×不同乘）
三、長(zhǎng)方體和正方體
1、由6個(gè)長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長(zhǎng)方體。兩個(gè)面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。
長(zhǎng)方體特點(diǎn)：
�。�1）有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，相對(duì)的面的面積相等，相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等。
�。�2）一個(gè)長(zhǎng)方體最多有6個(gè)面是長(zhǎng)方形，最少有4個(gè)面是長(zhǎng)方形，最多有2個(gè)面是正方形。
2、由6個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。
正方體特點(diǎn)：
�。�1）正方體有12條棱，它們的長(zhǎng)度都相等。
（2）正方體有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，每個(gè)面的面積都相等。
（3）正方體可以說(shuō)是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體，它是一種特殊的長(zhǎng)方體。
3、長(zhǎng)方體、正方體有關(guān)棱長(zhǎng)計(jì)算公式：
長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）×4=長(zhǎng)×4+寬×4+高×4 L=（a+b+h）×4
長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷4—寬—高a=L÷4—b—h
寬=棱長(zhǎng)總和÷4—長(zhǎng)—高b=L÷4—a—h
高=棱長(zhǎng)總和÷4—長(zhǎng)—寬h=L÷4—a—b
正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12 L=a×12
正方體的棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷12 a=L÷12
4、長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面和總面積叫做它的表面積。
長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2 S=2（ab+ah+bh）
無(wú)底（或無(wú)蓋）長(zhǎng)方體表面積=長(zhǎng)×寬+（長(zhǎng)×高+寬×高）×2
S=2（ab+ah+bh）—ab S=2（ah+bh）+ab
無(wú)底又無(wú)蓋長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×高+寬×高）×2 S=2（ah+bh）貼墻紙
正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6 S=a×a×6用字母表示：S= 6a2
生活實(shí)際：
油箱、罐頭盒等都是6個(gè)面游泳池、魚缸等都只有5個(gè)面水管、煙囪等都只有4個(gè)面。
注意1：用刀分開物體時(shí)，每分一次增加兩個(gè)面。（表面積相應(yīng)增加）
注意2：長(zhǎng)方體或正方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大幾倍，表面積會(huì)擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。
�。ㄈ玳L(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大2倍，表面積就會(huì)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍）。
5、物體所占空間的大小叫做物體的體積。
長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高V=abh
長(zhǎng)=體積÷寬÷高a=V÷b÷h
寬=體積÷長(zhǎng)÷高b=V÷a÷h
高=體積÷長(zhǎng)÷寬h= V÷a÷b
正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)
V=a×a×a= a3讀作“a的立方”表示3個(gè)a相乘，（即a·a·a）
長(zhǎng)方體或正方體底面的面積叫做底面積。
長(zhǎng)方體（或正方體）的體積=底面積×高用字母表示：V=S h
�。M截面積相當(dāng)于底面積，長(zhǎng)相當(dāng)于高）。
注意：一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)總和相等，但體積不一定相等。
6、箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。
固體一般就用體積單位，計(jì)量液體的體積，如水、油等。
常用的容積單位有升和毫升也可以寫成L和ml。
1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升
�。�1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3）
長(zhǎng)方體或正方體容器容積的計(jì)算方法，跟體積的計(jì)算方法相同。
但要從容器里面量長(zhǎng)、寬、高。（所以，對(duì)于同一個(gè)物體，體積大于容積。）
注意：長(zhǎng)方體或正方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大幾倍，體積就會(huì)擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍。（如長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大2倍，體積就會(huì)擴(kuò)大到原來(lái)的8倍）。
7、形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，形狀規(guī)則的物體可以用公式直接求體積。
排水法的公式：V物體=V現(xiàn)在—V原來(lái)
也可以V物體=S×（h現(xiàn)在— h原來(lái)）
V物體=S×h升高
8、【體積單位換算】
大單位轉(zhuǎn)換成小單位÷進(jìn)率
小單位轉(zhuǎn)換成大單位
進(jìn)率：1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米（立方相鄰單位進(jìn)率1000）
1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公頃=1000000平方米
注意：長(zhǎng)方體與正方體關(guān)系
把長(zhǎng)方體或正方體截成若干個(gè)小長(zhǎng)方體（或正方體）后，表面積增加了，體積不變。
重量單位進(jìn)率，時(shí)間單位進(jìn)率，長(zhǎng)度單位進(jìn)率——率
【單位換算】
大單位小單位
÷進(jìn)率
小單位大單位
長(zhǎng)度單位：1千米=1000米1分米=10厘米1厘米=10毫米1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米（相鄰單位進(jìn)率10）
面積單位：1平方千米=100公頃1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米1公頃=10000平方米（平方相鄰單位進(jìn)率100）
質(zhì)量單位：1噸=1000千克1千克=1000克
人民幣：1元=10角1角=10分1元=100分
四、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)
1、分?jǐn)?shù)的意義：一個(gè)物體、一物體等都可以看作一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。
2、單位“1”：一個(gè)整體可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常把它叫做單位“1”。（也就是把什么平均分什么就是單位“1”。）
3、分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。
4、分?jǐn)?shù)與除法。A÷B=（B≠0，除數(shù)不能為0，分母也不能夠?yàn)?）例如：4÷5=
5、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)
1、真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)<1。
2、假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)≧1
3、帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組成的分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)>1。
4、真分?jǐn)?shù)<1≤假分?jǐn)?shù)真分?jǐn)?shù)<1<帶分?jǐn)?shù)
6、假分?jǐn)?shù)與整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的互化
（1）假分?jǐn)?shù)化為整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)，用分子÷分母，商作為整數(shù)，余數(shù)作為分子，如：10÷5=2 =21÷5=4
（2）整數(shù)化為假分?jǐn)?shù)，用整數(shù)乘以分母得分子如2= 2×4=8（8作分子）
�。�3）帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，用整數(shù)乘以分母加分子，得數(shù)就是假分?jǐn)?shù)的分子，分母不變，如：5= 5×5+1=26
�。�4）1等于任何分子和分母相同的分?jǐn)?shù)。如：
7、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：
分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。
8、最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)的分子和分母只有公因數(shù)1，像這樣的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質(zhì)因數(shù)，就能夠化成有限小數(shù)。反之則不可以。
9、約分：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。
10、通分：把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。如：
11、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化
（1）小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：數(shù)小數(shù)位數(shù)。一位小數(shù)，分母是10；兩位小數(shù)，分母是100……
如：0.3= 0.03= 0.003=
�。�2）分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：
方法一：把分?jǐn)?shù)化為分母是10、100、1000……
如：=0.3 、0.6 、0.25
方法二：用分子÷分母
如：=3÷4=0.75
（3）帶分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：
先把整數(shù)后的分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，再加上整數(shù)
如：2=2+0.3=2.3
12、比分?jǐn)?shù)的大�。悍帜赶嗤肿哟�，分?jǐn)?shù)就大；
分子相同，分母小，分?jǐn)?shù)才大。
分?jǐn)?shù)比較大小的一般方法：同分子比較；通分后比較；化成小數(shù)比較。
13、分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)包括兩步：一是約分；二是把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)。
14、兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的特殊判斷方法：
�、� 1和任何大于1的自然數(shù)互質(zhì)。
�、� 2和任何奇數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。
�、巯噜彽膬蓚�(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。
�、芟噜彽膬蓚�(gè)奇數(shù)互質(zhì)。
�、莶幌嗤膬蓚�(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。
�、蕻�(dāng)一個(gè)數(shù)是合數(shù)，另一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)時(shí)（除了合數(shù)是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)情況下），一般情況下這兩個(gè)數(shù)也都是互質(zhì)數(shù)。
15、求公因數(shù)的方法：
①倍數(shù)關(guān)系：公因數(shù)就是較小數(shù)。
�、诨ベ|(zhì)關(guān)系：公因數(shù)就是1
�、垡话汴P(guān)系：從大到小看較小數(shù)的因數(shù)是否是較大數(shù)的因數(shù)。
16、分?jǐn)?shù)知識(shí)圖解：
分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生
分?jǐn)?shù)的意義分?jǐn)?shù)與意義：把單位1平均分成幾份，表示其中的一份或幾份。
分?jǐn)?shù)與除法：分子（被除數(shù)），分母（除數(shù)），分?jǐn)?shù)值（商）。
真分?jǐn)?shù)真分?jǐn)?shù)小于1
真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)大于1或等于1
帶分（整數(shù)部分和真分?jǐn)?shù)）
假分?jǐn)?shù)化帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)（分子除以分母，商作整數(shù)部分，余數(shù)作分子）
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的大小不變。
通分、通分子：化成分母不同，大小不變的分?jǐn)?shù)（通分）
公因數(shù)
約分求公因數(shù)
最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)分子分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)、最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)）
約分及其方法
最小公倍數(shù)
通分求最小公倍數(shù)
分?jǐn)?shù)比大小（通分、通分子、化成小數(shù)）
通分及其方法
小數(shù)化分?jǐn)?shù)小數(shù)化成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)再化簡(jiǎn)
分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化
分?jǐn)?shù)化小數(shù)分子除以分母，除不盡的取近似值
五、分?jǐn)?shù)的加法和減法
�。�1）同分母分?jǐn)?shù)加、減法（分母不變，分子相加減）
1、分?jǐn)?shù)數(shù)的加法和減法（2）異分母分?jǐn)?shù)加、減法（通分后再加減）
�。�3）分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算：同整數(shù)。
�。�4）結(jié)果要是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)
2、帶分?jǐn)?shù)加減法：帶分?jǐn)?shù)相加減，整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的結(jié)果合并起來(lái)。
附：具體解釋
�。ㄒ唬┩帜阜�?jǐn)?shù)加、減法
1、同分母分?jǐn)?shù)加、減法：
同分母分?jǐn)?shù)相加、減，分母不變，只把分子相加減。
2、計(jì)算的結(jié)果，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
�。ǘ┊惙帜阜�?jǐn)?shù)加、減法
1、分母不同，也就是分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相加、減。
2、異分母分?jǐn)?shù)的加減法：
異分母分?jǐn)?shù)相加、減，要先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的方法進(jìn)行計(jì)算。
（三）分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算
1、分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同。
在一個(gè)算式中，如果有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；如果只含有同一級(jí)運(yùn)算，應(yīng)從左到右依次計(jì)算。
2、整數(shù)加法的交換律、結(jié)合律對(duì)分?jǐn)?shù)加法同樣適用。
六、統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)廣角
眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)。
眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。
統(tǒng)計(jì)在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有眾數(shù)。
復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖
綜合應(yīng)用打電話的方案
1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的一個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)，就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。
在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有眾數(shù)。
2、中位數(shù)：
（1）按大小排列；
（2）如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是單數(shù)，那么最中間的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù)；
�。�3）如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是雙數(shù)，那么最中間的那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。
3、平均數(shù)的求法：總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù)
4、一組數(shù)據(jù)的一般水平：
�。�1）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中沒有偏大偏小的數(shù)，也沒有個(gè)別數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)，用平均數(shù)表示一般水平。
（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有偏大或偏小的數(shù)時(shí)，用中位數(shù)來(lái)表示一般水平。
（3）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)，就用眾數(shù)來(lái)表示一般水平。
4、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：
①平均數(shù)：
一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。
容易受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的平均情況。
②中位數(shù)：
將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
它不受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的一般情況。
�、郾姅�(shù)：
在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
它不受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的集中情況。
5、統(tǒng)計(jì)圖：我們學(xué)過(guò)——條形統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。
條形統(tǒng)計(jì)圖優(yōu)點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖能形象地反映出數(shù)量的多少。
折線統(tǒng)計(jì)圖優(yōu)點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖不僅能表示出數(shù)量的多少，還能反映出數(shù)量的變化情況。
注：①畫圖時(shí)注意：一“點(diǎn)”（描點(diǎn)）、二“連”（連線）三“標(biāo)”（標(biāo)數(shù)據(jù)）。
②要用不同的線段分別連接兩組數(shù)據(jù)中的數(shù)。
6、打電話：規(guī)律——人人不閑著，每人都在傳。（技巧：已知人數(shù)依次× 2）
（1）逐個(gè)法：所需時(shí)間最多。
（2）分組法：相對(duì)節(jié)約時(shí)間。
（3）同時(shí)進(jìn)行法：最節(jié)約時(shí)間。
七、數(shù)學(xué)廣角
用天平找次品規(guī)律：
1、把所有物品盡可能平均地分成3份，（如余1則放入到最后一份中；如余2則分別放入到前兩份中），保證找出次品而且稱的次數(shù)一定最少。
2、數(shù)目與測(cè)試的次數(shù)的關(guān)系：2～3個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是1次
4～9個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是2次
10～27個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是3次
28～81個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是4次
82～243個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是5次
244～729個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是6次
3、找次品規(guī)律
1 2 3 4 5 …次數(shù)
3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 …
3 9 27 81 243 …次品個(gè)數(shù)
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