對(duì)數(shù)學(xué)史輔助對(duì)數(shù)概念教學(xué)的探索

　　一、學(xué)情分析

　　“對(duì)數(shù)概念”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1第3章第2節(jié)《對(duì)數(shù)函數(shù)》的第1課時(shí)內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念、表示方法和一般性質(zhì)，完成了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，掌握了研究函數(shù)的一般方法，經(jīng)歷過(guò)從特殊到一般、從具體到抽象的研究過(guò)程。對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，是對(duì)指數(shù)概念和指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)的深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。

　　因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：(1)理解對(duì)數(shù)概念，能夠進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化；了解常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)；掌握幾個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)恒等式。(2)通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究，體會(huì)引入對(duì)數(shù)概念的必要性和合理性。(3)感受從特殊到一般、化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)是：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)數(shù)概念的建構(gòu)與理解。

　　二、教學(xué)設(shè)想

　　對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的偉大成就之一，作為一個(gè)困擾天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家多年的問(wèn)題，高中生在面對(duì)這個(gè)抽象的概念時(shí)的認(rèn)知難度可想而知。因此，本節(jié)課充分借助數(shù)學(xué)史上與對(duì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題和故事展開(kāi)對(duì)知識(shí)的探究，通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)名著中的趣題激發(fā)學(xué)生的研究興趣，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合已有的指數(shù)知識(shí)展開(kāi)認(rèn)知與建構(gòu)，從特殊到一般體會(huì)對(duì)數(shù)發(fā)明的必要性和合理性，在化歸轉(zhuǎn)化中把握指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，使一個(gè)看似人為編造出來(lái)的概念成為“有源之水”、“有根之木”。

　　本節(jié)課中另一個(gè)容易被輕視的知識(shí)點(diǎn)是常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的概念，通常的做法是直接給出這兩個(gè)概念，但會(huì)使學(xué)生覺(jué)得比較突然，不利于其接受理解和準(zhǔn)確使用。筆者嘗試從數(shù)學(xué)史中找到常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)的由來(lái)，并以數(shù)學(xué)故事的形式讓學(xué)生感知人類(lèi)在漫漫歷史長(zhǎng)河中對(duì)對(duì)數(shù)的追尋和有關(guān)概念的發(fā)明歷程，從而使數(shù)學(xué)知識(shí)不再枯燥生硬，變得生動(dòng)有趣，并把看似聯(lián)系不大的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)整體。這樣的教學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，便于其掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值和力量。

　　三、教學(xué)過(guò)程

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情境，探索新知

　　首先，以中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中的一道趣題引入，啟發(fā)學(xué)生思考，從而了解該題的本質(zhì)是如何依據(jù)底數(shù)和冪的值求指數(shù)。（教師出示問(wèn)題：今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問(wèn)：幾何日相逢？各穿幾何？）師這是我國(guó)古代最著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中的第196題，大家一起來(lái)思考一下。

　　在公元1世紀(jì)左右的漢朝，能得到如此近似的結(jié)果已經(jīng)是非常了不起的成就。遺憾的是，古代中國(guó)的數(shù)學(xué)家們未能再作深入研究，找出解決此類(lèi)問(wèn)題的方法，因而，錯(cuò)過(guò)了人類(lèi)數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就。今天，你們掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)遠(yuǎn)超當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的一般水平，那么，大家一起來(lái)嘗試解決它。要解決一個(gè)問(wèn)題，首先要搞清楚這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)。它是什么類(lèi)型的問(wèn)題？你見(jiàn)過(guò)跟它類(lèi)似的問(wèn)題嗎？

　　生這個(gè)問(wèn)題是已知底數(shù)和冪的值，要求指數(shù)。

　　師通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，在指數(shù)式的底數(shù)、指數(shù)和冪這3個(gè)數(shù)中：已知底數(shù)和指數(shù)，通過(guò)乘方運(yùn)算可以求得冪；已知指數(shù)和冪，則通過(guò)用開(kāi)方運(yùn)算或分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算可以求得底數(shù)。那么，已知底數(shù)和冪，如何求指數(shù)呢？

　　生在有些特殊情況下可以求，比如2Z=32，根據(jù)25=32就知道x=5。不是特殊值就沒(méi)辦法了，只能求近似值。

　　師很好！以方程2x=5為例，怎么找出z的近似值，你能說(shuō)說(shuō)嗎？

　　生可以數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．把y=2x的圖像畫(huà)出來(lái)，再作出y=5的圖像，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程2x=5的根。

　　師通過(guò)他的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程有根，而且根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只有一個(gè)根。雖然表達(dá)不出來(lái)，但我們可以肯定的是，這個(gè)根是由底數(shù)2和冪的值5確定的。

　　生可以用底數(shù)和冪來(lái)表示這個(gè)根。

　　師是的。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們都沒(méi)有想到解決這個(gè)問(wèn)題的辦法。直到1614年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(1550～1617)在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算而攻克了這個(gè)難題。他的解決方式是：發(fā)明了一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念——對(duì)數(shù)。一般地，如果a(a>0，以≠1)的6次冪等于N，即ab=N，那么就稱(chēng)6是以以為底的N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b。開(kāi)普勒首先引入符號(hào)logaN，其助手、瑞士鐘表匠比爾吉制作了世界上首張對(duì)數(shù)表。

　　師按照上述定義，你能寫(xiě)出這個(gè)問(wèn)題的答案嗎？

　　師同學(xué)們，今天我們認(rèn)識(shí)了對(duì)數(shù)，透過(guò)它，我們感受到科學(xué)家思考問(wèn)題的奇妙歷程，也感受到數(shù)學(xué)發(fā)展推動(dòng)人類(lèi)探索和認(rèn)識(shí)世界的強(qiáng)大力量。今天的課后作業(yè)是：教材第74頁(yè)的練習(xí)3、4、5、7。希望大家通過(guò)練習(xí)掌握對(duì)數(shù)的基本概念，我們明天繼續(xù)研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)這個(gè)認(rèn)識(shí)世界的新工具！

　　四、教學(xué)反思

　　《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》倡導(dǎo)，讓學(xué)生通過(guò)豐富的背景感受數(shù)學(xué)、建立數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)；蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的每個(gè)章節(jié)都安排了拓展、鏈接、閱讀等欄目，并鼓勵(lì)教師根據(jù)學(xué)生的不同需求為學(xué)生提供選擇的空間。本節(jié)課從教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，補(bǔ)充了與對(duì)數(shù)研究有關(guān)的歷史名題以及對(duì)數(shù)底數(shù)的演變歷史，填補(bǔ)了概念發(fā)生的背景，使對(duì)數(shù)概念因其發(fā)展史而變得生動(dòng)，也為更多的學(xué)生認(rèn)知和理解。

　　當(dāng)然，由于本節(jié)課引入了大量的歷史素材，而且課始出示的問(wèn)題要用到等比數(shù)列求和公式，導(dǎo)致整節(jié)課教學(xué)內(nèi)容偏多偏難，教學(xué)節(jié)奏偏快，一些學(xué)生有“囫圇吞棗”的現(xiàn)象�？梢�(jiàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)史輔助教學(xué)時(shí)，課前應(yīng)給學(xué)生發(fā)放一些閱讀材料，或者介紹一些相關(guān)網(wǎng)站、讀物等，引導(dǎo)學(xué)生拓展學(xué)習(xí)，以解決課堂容量過(guò)大或較難的問(wèn)題。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]【英】J．F．斯科特，數(shù)學(xué)史[M】.侯德潤(rùn)，張?zhí)m譯，南京：譯林出版社，2012

　　[2]張萍，“對(duì)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)[J】．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2014(4)

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