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二級(jí)c語言

時(shí)間:2021-11-24 15:13:05 其他資料 我要投稿

二級(jí)c語言

. 大數(shù)的運(yùn)算

1. 大數(shù)的運(yùn)算原理

RSA算法依賴于大數(shù)的運(yùn)算,目前主流RSA算法都建立在512位到1024位的大數(shù)運(yùn)算之上,所以我們首先需要掌握大數(shù)(比如1024位)的運(yùn)算原理。

大多數(shù)的編譯器只能支持到32位(或64位)的整數(shù)運(yùn)算,即我們?cè)谶\(yùn)算中所使用的整數(shù)必須小于等于32位,即0xFFFFFFFF,這遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到RSA的需要,于是需要專門建立大數(shù)運(yùn)算庫,來解決這一問題。

最簡(jiǎn)單的辦法是將大數(shù)當(dāng)作字符串進(jìn)行處理,也就是將大數(shù)用10進(jìn)制字符數(shù)組進(jìn)行表示,然后模擬人們手工進(jìn)行“豎式計(jì)算”的過程編寫其加減乘除函數(shù)。但是這樣做效率很低。當(dāng)然其優(yōu)點(diǎn)是算法符合人們的日常習(xí)慣,易于理解。

另一種思路是將大數(shù)當(dāng)作一個(gè)二進(jìn)制流進(jìn)行處理,使用各種移位和邏輯操作來進(jìn)行加減乘除運(yùn)算,但是這樣做代碼設(shè)計(jì)非常復(fù)雜,可讀性很低,難以理解也難以調(diào)試。

這里我們采用了一種介于兩者之間的思路:將大數(shù)看作一個(gè)N進(jìn)制數(shù)組,對(duì)于目前的32位系統(tǒng)而言,N可以取2的32次方,即 0x100000000,假如將一個(gè)1024位的大數(shù)轉(zhuǎn)化成0x10000000進(jìn)制,它就變成了32位,而每一位的取值范圍是0- 0xFFFFFFFF。我們正好可以用一個(gè)無符號(hào)長(zhǎng)整數(shù)來表示這一數(shù)值。所以1024位的.大數(shù)就是一個(gè)有32個(gè)元素的unsigned long數(shù)組。而且0x100000000進(jìn)制的數(shù)組排列與2進(jìn)制流對(duì)于計(jì)算機(jī)來說,實(shí)際上是一回事,但是我們完全可以針對(duì)unsigned long數(shù)組進(jìn)行“豎式計(jì)算”,而循環(huán)規(guī)模被降低到了32次之內(nèi),并且算法很容易理解。

但考慮到乘法和除法,都要進(jìn)行擴(kuò)展才能進(jìn)行快速的計(jì)算(如果把除法變減法而不擴(kuò)展,速度將慢的無法忍受)。所以我們將N取2的16次方的,即 0xFFFF。每一位用unsigned short來表示,當(dāng)進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí),將short擴(kuò)展成long,這是編譯器所支持的,所以運(yùn)算起來,比較快。

2. 大數(shù)的各種運(yùn)算

這些運(yùn)算都是常見的,同時(shí)也是常用的。要實(shí)現(xiàn)RSA算法,就必須先實(shí)現(xiàn)大數(shù)的這些運(yùn)算。

1) 大數(shù)的比較。兩個(gè)無符號(hào)或有符號(hào)的大數(shù)進(jìn)行大小比較。大數(shù)和一般整數(shù)進(jìn)行比較。大于,等于,小于,返回值各異,以區(qū)別比較結(jié)果。

2) 大數(shù)的賦值。將一個(gè)大數(shù)的值,符號(hào)等,逐位賦給另一個(gè)大數(shù)。將一般整數(shù)的值,符號(hào)等賦給一個(gè)大數(shù)。

3) 大數(shù)的加法。兩個(gè)大數(shù)從低位到高位逐位相加,要考慮到進(jìn)位的問題;虼髷(shù)與一般整數(shù)的相加。

4) 大數(shù)的減法。兩個(gè)大數(shù)從低位到高位逐位相減,要考慮到借位的問題。或大數(shù)與一般整數(shù)的相減。

5) 大數(shù)的乘法。兩個(gè)大數(shù)的乘法,從一個(gè)大數(shù)的低位到高位,逐位與另一個(gè)大數(shù)相乘,然后將結(jié)果低位對(duì)齊相加,要考慮進(jìn)位,類似于普通的豎式乘法;虼髷(shù)與一般整數(shù)的乘法。

6) 大數(shù)的除法。兩個(gè)大數(shù)的除法,從一個(gè)大數(shù)的高位到低位,逐步與另一個(gè)大數(shù)相除,要考慮借位,類似于普通的豎式除法;虼髷(shù)與一般整數(shù)的乘法。

7) 大數(shù)的取余。兩個(gè)大數(shù)的取余,類似于大數(shù)的除法,只是當(dāng)除到底時(shí),返回的是余數(shù)而已,也存在借位的問題。或大數(shù)于一般整數(shù)的取余。

8) 大數(shù)的歐氏算法。它是已知大數(shù)A、B,求滿足AX≡1 MOD B的X,是最大公約數(shù)算法的擴(kuò)展,同樣用輾轉(zhuǎn)相除法。再遞歸的過程中,兩個(gè)參數(shù)都要用到,到要變化的。具體算法請(qǐng)參考源代碼。

9) 大數(shù)的蒙氏算法。它是已知大數(shù)A、B和C,求X=A^B MOD C的值。要對(duì)指數(shù)進(jìn)行逐漸降階,直到變成2次方,也就是轉(zhuǎn)換成乘法和取余運(yùn)算。降階的方法和算法的具體過程,請(qǐng)參考相關(guān)書籍和源代碼。

10) 大數(shù)的最大公約數(shù)。求兩個(gè)大數(shù)的最大公約數(shù),用輾轉(zhuǎn)相除法。

RSA算法的實(shí)現(xiàn)

A. 生成密鑰函數(shù)

gChar gGenerateKey(gBigInt *n,gBigInt *e,gBigInt *d);

功能:該函數(shù)實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)生密鑰的功能。先產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)的大素?cái)?shù)p和q,然后計(jì)算n=p×q,隨機(jī)產(chǎn)生(或固定)一個(gè)大數(shù)e,計(jì)算d,使得ed≡1 MOD (p-1)(q-1)。

參數(shù):

n:兩個(gè)大數(shù)的乘積,和e或d聯(lián)合構(gòu)成加密密鑰或解密密鑰。

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