什么是無理數(shù)及其定義是什么
無理數(shù)最早是由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)，那么什么是無理數(shù)?下面小編就帶大家一起來詳細了解下吧。
無理數(shù)基本定義
無理數(shù)，即非有理數(shù)之實數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)。 常見的無理數(shù)有大部分的平方根、π和e(其中后兩者同時為超越數(shù))等。無理數(shù)的另一特征是無限的連分數(shù)表達式。傳說中，無理數(shù)最早由畢達哥拉斯學派弟-子希伯斯發(fā)現(xiàn)。他以幾何方法證明無法用整數(shù)及分數(shù)表示。而畢達哥拉斯深信任意數(shù)均可用整數(shù)及分數(shù)表示，不相信無理數(shù)的存在。但是他始終無法證明不是無理數(shù)，后來希伯斯將無理數(shù)透露給外人——此知識外泄一事觸犯學派章程——因而被處死，其罪名等同于“瀆神”。
無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)和開方開不盡的數(shù). 如圓周率、√2(根號2)等。
有理數(shù)是所有的分數(shù)，整數(shù)，它們都可以化成有限小數(shù)，或無限循環(huán)小數(shù)。如22/7等。
實數(shù)(real number)分為有理數(shù)和無理數(shù)(irrational number)。
有理數(shù)可分為整數(shù)(正整數(shù)、0、負整數(shù))和分數(shù)(正分數(shù)、負分數(shù))
也可分為正有理數(shù)，0，負有理數(shù)。
除了無限不循環(huán)小數(shù)以外的數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。
1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成整數(shù)、小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，
比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點,人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)。
2、無理數(shù)不能寫成兩整數(shù)之比。
利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別，可以證明√2是無理數(shù)。
證明：假設(shè)√2不是無理數(shù)，而是有理數(shù)。
既然√2是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個整數(shù)之比的形式：
√2=p/q
再假設(shè)p和q沒有公因數(shù)可以約，所以可以認為p/q 為最簡分數(shù),即最簡分數(shù)形式。
把 √2=p/q 兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶數(shù)，p 必定為偶數(shù)，設(shè)p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數(shù)，設(shè)q=2n
既然p和q都是偶數(shù)，他們必定有公因數(shù)2，這與前面假設(shè)p/q是最簡分數(shù)矛盾。這個矛盾是由假設(shè)√2是有理數(shù)引起的。因此√2是無理數(shù)。
1.判斷a√b是否無理數(shù)(a，b是整數(shù))
若a√b是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個整數(shù)之比的形式：
a√b=c/d(c/d是最簡分數(shù))
兩邊a次方得b=c^a/d^a 即c^a=b*(d^a)c^a一定是b的整數(shù)倍，設(shè)c^a=b^n*p 同理b*(d^a) 必然也為b的整數(shù)倍，設(shè)b*(d^a)=b*(b^m*q). 其中p和q都不是b的整數(shù)倍
左邊b的因子數(shù)是a的倍數(shù)，要想等式成立，右邊b的因子數(shù)必是a的倍數(shù)，推出當且僅當b是完全a次方數(shù)，a√b才是有理數(shù)，否則為無理數(shù)。
無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的故事
對畢達歌拉斯而言，當時的數(shù)學知識只能認識到整數(shù)，雖然分數(shù) 總可以用正數(shù)表達。數(shù)學之美在于有理數(shù)能解釋一切自然現(xiàn)象。這種起指導作用的哲學觀使畢氏對無理數(shù)的存在視而不見，甚至導致他一個學生被處死。
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)
畢達哥拉斯的學生希伯斯，他試圖找出根號2的等價分數(shù)，最終他認識到根本不存在這個分數(shù)，也就是說根號2是無理數(shù)，希帕索斯對這發(fā)現(xiàn)，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。
希帕索斯在研究勾股定理時，發(fā)現(xiàn)了一種新的數(shù)，而這種數(shù)是不符合他老師的宇宙理論的。希伯斯發(fā)現(xiàn)，如果直角三角形兩條直角邊都為1，那么，它的斜邊的長度就不能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比(應該等于，是一個無理數(shù))。更令畢達哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用數(shù)學方法證實了這種新數(shù)存在的合理性，而證明的方法─歸謬法，又是畢達哥拉斯學派常用的。
因為畢氏已經(jīng)用有理數(shù)解釋了天地萬物，無理數(shù)的存在會引起對他信念的懷疑。希帕索斯經(jīng)洞察力獲致的成果一定經(jīng)過了一段時間的論和深思熟慮，畢氏本應接受這新數(shù)源。然而，畢氏始終不愿承認自己的錯誤，卻又無法經(jīng)由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數(shù)學的最大悲劇，只有在他死后無理數(shù)才得以安全的被討論著。后來，歐幾里德以反證法證明根號2是無理數(shù)。
沉重的打擊
可以想象，畢達哥拉斯學派受到了多么沉重的打擊。小小的竟然動搖了他們慘淡經(jīng)營的宇宙理論。怎么辦?畢達哥拉斯的可悲，在于他不敢視這個新的數(shù)學問題，而是企圖借助宗教信條來維護他的權(quán)威。他搬出學派的誓言，揚言要嚴懲敢于“泄密”的人。然而，真理從來就不是權(quán)劫的奴仆，真理的聲音是誰也封鎖不了的。漸漸地，有一種新的數(shù)存在的消息傳揚了開去。
這一發(fā)現(xiàn)實際上是推翻了教派原來的論斷，觸犯了這個學派的信條。他們不許希帕索斯泄露存在根2(即無理數(shù))的秘密，但是天真的希帕索斯在無意中向別人談到了他的發(fā)現(xiàn)。后來畢達哥拉斯教派為了維護教派的信條，以破壞教規(guī)為理由將希帕索斯裝進大口袋扔進了大海。希帕索斯因為發(fā)現(xiàn)了根號2“無理數(shù)”的存在，為揭示了一個科學的真理而付出了生命的代價。
同時該教派犯下了將發(fā)現(xiàn)無理數(shù)存在的教派成員、畢達哥拉斯的學生希帕索斯迫害致死的罪行。這是數(shù)學史上一個最著名的悲劇。他那傳奇般的一生給后代留下了許多的故事與傳說。
然而像根號2這樣的“無理數(shù)”存在的.事實，卻不可能一扔了之，由此引發(fā)了數(shù)學史上第一次危機，也帶來了數(shù)學思想一次大的飛躍。認識無理數(shù)的存在告訴我們，矛盾的存在說明人的認識還具有某種局限性，需要有新的思想和理論來解釋。我們只有突破固有思維模式的束縛，才能開辟新的領(lǐng)域和方向，科學才能夠繼續(xù)發(fā)展。
科學無止境，認識無禁區(qū)，那些事先為科學設(shè)定條條框框的，最后將變成阻礙科學進步的阻力，必然被時代的所拋棄。
進步的代價
希伯斯由于違背了學派的誓言，遭受到殘酷的迫害。不久，他就失蹤了。畢達哥拉斯派的人說，那是海神普賽登懲罰了“叛逆”的希伯斯，海神刮起大風暴沖散了希伯斯的船隊，然后就卷起海浪吞沒了他........但是，誰會相信這些騙人的鬼話呢?
這類無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學史上一個重要的發(fā)現(xiàn)。希伯斯為此獻出了生命，但我們欣忍地看到，數(shù)學卻因此又前進了一步。
有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別
實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)主要區(qū)別有兩點：
（1）有理數(shù)可分為整數(shù)(正整數(shù)、0、負整數(shù))和分數(shù)(正分數(shù)、負分數(shù))。把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，比如4=4.0；4/5=0.8等等；也可分為正有理數(shù)(正整數(shù)、正分數(shù))，0，負有理數(shù)(負整數(shù)、負分數(shù)),而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù).
�。�2）所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比，而無理數(shù)卻不能寫成兩個整數(shù)之比．因此，無理數(shù)也叫做非比數(shù)。
無理數(shù)的性質(zhì)
1.無理數(shù)加（減）無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)。
2.無理數(shù)乘（除）無理數(shù)既可以是無理數(shù)又可以是有理數(shù)。
3.無理數(shù)加（減）有理數(shù)一定是無理數(shù)。
4.無理數(shù)乘（除）一個非0有理數(shù)一定是無理數(shù)。
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