初一奧數(shù)期末自測題三及答案解析
1.解關于x的方程
2.解方程
其中a+b+c0.
3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項系數(shù)之和.
4.液態(tài)農藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農藥的濃度為72%，求桶的容量.
5.滿足[-1.77x]=-2x的自然數(shù)x共有幾個?這里[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-5.6]=-6，[3]=3.
6.設P是△ABC內一點.求：P到△ABC三頂點的'距離和與三角形周長之比的取值范圍.
7.甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過9小時到東站，乙經(jīng)過16小時到西站，求兩站距離.
8.黑板上寫著三個數(shù)，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1，這樣繼續(xù)下去，最后得到19，1997，1999，問原來的三個數(shù)能否是2，2，2?
9.設有n個實數(shù)x1，x2，，xn，其中每一個不是+1就是-1，且
求證：n是4的倍數(shù).
答案解析：
1.化簡得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
當a1時，
2.將原方程變形為
由此可解得
x=a+b+c.
3.當x=1時，
(8-6+4-7)3(2-1)2=1.
即所求展開式中各項系數(shù)之和為1.
依題意得
去分母、化簡得
7x2-300x+800=0，
即 (7x-20)(x-40)=0，
5.若n為整數(shù)，有[n+x]=n+[x]，所以
[-1.77x]=[-2x+0.23x]
=-2x+[0.23x].
由已知[-1.77x]=-2x，所以
-2x=-2x+[0.23x]，
所以 [0.23x]=0.
又因為x為自然數(shù)，所以00.23x1，經(jīng)試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個.
6.如圖1-105所示.在△PBC中有
BC
延長BP交AC于D.易證
PB+PC
由①，②
BC
同理
AC
AB
�、�+④+⑤得
AB+BC+CA2(PA+PB+PC)2(AB+BC+CA).
所以
來
7.設甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千米.依題意得
由①得
16y2=9x2， ③
由②得16y=24+9x，將之代入③得
即 (24+9x)2=(12x)2.
解之得
于是
所以兩站距離為
98+166=168(千米).
8.答案是否定的.對于2，2，2，首先變?yōu)?，2，3，其中兩個偶數(shù)，一個奇數(shù).以后無論改變多少次，總是兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)(數(shù)值可以改變，但奇偶性不變)，所以，不可能變?yōu)?9，1997，1999這三個奇數(shù).
。
又因為
所以，k是偶數(shù)，從而n是4的倍數(shù).
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