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八年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)要點北師大版
引導(dǎo)語:考試是教學(xué)過程中的一個重要環(huán)節(jié),考試的檢測與反饋功能是教育目標(biāo)管理的主要手段。以下是八年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)要點(北師大版),供同學(xué)們參考:
認(rèn)識無理數(shù)
1.無限小數(shù)都是無理數(shù)無限小數(shù)分:為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),其中無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),只有無限不循環(huán)的小數(shù)才是無理數(shù)。
2.無理數(shù)包括正無理數(shù)、負(fù)無理數(shù)和零。受思維習(xí)慣的影響,有些同學(xué)錯誤認(rèn)為正無理數(shù)與負(fù)無理數(shù)之間應(yīng)有零,零也是無理數(shù),其實零是一個有理數(shù),因此,無理數(shù)只分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)兩類。
3.帶根號的數(shù)是無理數(shù)。是有理數(shù)2, 是有理數(shù)-2,可見帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)。
4.無理數(shù)是用根號形式表示的數(shù)。是無理數(shù),但并不是用根號形式表示的,再如:0.1010010001(兩個1之間依次多一個),亦為不帶根號的無理數(shù)。
5.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)。無理數(shù)并非由開方的結(jié)果來定義的,事實上,如 ,0.232232223,等無理數(shù),都不是由開方得到的。
6.兩個無理數(shù)的和、差、積、商仍是無理數(shù)。兩個無理數(shù)的和,差,積,商不一定是無理數(shù),如:等都是有理數(shù)。
7.無理數(shù)與有理數(shù)的乘積是無理數(shù)。這種說法是錯誤的!由 等似乎易見無理數(shù)與有理數(shù)的積是無理數(shù),就下肯定結(jié)論,錯了!如 等足以推翻以上結(jié)論。8.有些無理數(shù)是分?jǐn)?shù)。因為分?jǐn)?shù)屬于有理數(shù),且無理數(shù)與有理數(shù)是兩類不同的數(shù),所以說,無理數(shù)不可能寫成分?jǐn)?shù),當(dāng)然,有些無理數(shù)可以借助分?jǐn)?shù)線來表示。如 ,但一定要注意它并不是分?jǐn)?shù)。
9.無理數(shù)比有理數(shù)少。這種說法錯誤,無理數(shù)在人們生產(chǎn)和生活中使用的少一些,但并不是說無理數(shù)就少一些,我們平常的計算中沒有特別需要時,習(xí)慣地把一些無理數(shù)按要求通過取近似值的方法用有理數(shù)來表示,這樣似乎就覺得使用無理數(shù)少一些,實際上,無理數(shù)也有無限個且比有理數(shù)多得多。
10.一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù)。這種說法錯誤,不要誤認(rèn)為只有 等無理數(shù),如 等也是無理數(shù),顯然 等不是有理數(shù)。
平方根
如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根。0的平方根是0。負(fù)數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)不能開平方,只有在正數(shù)范圍內(nèi),才可以開平方根。例如:-1的平方根為i,-9的平方根為3i。
平方根包含了算術(shù)平方根,算術(shù)平方根是平方根中的一種。
平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有。
被開方數(shù)是乘方運算里的冪。
求平方根可通過逆運算平方來求。
開平方:求一個非負(fù)數(shù)a的平方根的運算叫做開平方,其中a叫做被開方數(shù)。
若x的平方等于a,那么x就叫做a的平方根,即√a=x
立方根
1、平方根的意義:如果一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)就叫做a的平方根(或二次方根)。
注意:這樣的數(shù)常常有兩個。
2、平方根的性質(zhì):
(1)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身;
(3)負(fù)數(shù)沒有平方根。
3.平方根的表示方法: 正數(shù)a的平方根表示為“±
4.算術(shù)平方根:正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根。記作根號a。0的平方根0,也叫做0的算術(shù)平方根。
6.立方根和開立方同平方根開平方的概念類似。
易犯錯誤:
1.算術(shù)平方根與平方根混淆,例如出現(xiàn)100的平方根等于10的錯誤.
2.根號a表示的正數(shù)a的平方根。蘊含條件a≥0。
估算
估算的方法
1.四舍五入
例題:2的算數(shù)平方根(保留到0.01)
解:根號2=1.414.....≈1.41
2.進(jìn)一法
例題:一支筆2.6元,四支需多少錢(保留到整數(shù))
解:2.6*4=10.4元≈11元
如果四舍五入的話是10元,是不夠的,所以是要進(jìn)上去的
3.去尾法
例題:有20元,買3元一支的筆,可賣多少支?
解:20/3=6.6666....支≈6支
如果四舍五入的話是7支,買不到,所以是要去掉的
按照一般方法就是把854估做840,840除以7等于120.但這樣在尺度上讓學(xué)生不好把握.我們可以直接算出854除以7等于122.再看122最接近那個整十或整百數(shù).我們不難看出122字接近120,所以估算結(jié)果等于120.這樣學(xué)生通過求除法的準(zhǔn)確值,再找出商最接近的整十或整百數(shù)就容易多了
比如2個數(shù)或多個數(shù)相乘或則相加、相減、相除,我們不能很快且正確的算出來,就是只有打開的算出來。
實數(shù)
實數(shù),是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。數(shù)學(xué)上,實數(shù)定義為與數(shù)軸上的點相對應(yīng)的數(shù)。實數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無限小數(shù),它們能把數(shù)軸“填滿”。但僅僅以列舉的方式不能描述實數(shù)的整體。實數(shù)和虛數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)。
1、實數(shù)的分類:有理數(shù)和無理數(shù)
2、數(shù)軸:規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.實數(shù)和數(shù)軸上點一一對應(yīng).
3、相反數(shù):符號不同的兩個數(shù),叫做互為相反數(shù).a的相反數(shù)是-a,0的相反數(shù)是0. (若a與b護衛(wèi)相反數(shù),則a+b=0)
4、絕對值:在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫數(shù)a的絕對值,記作∣a∣,正數(shù)的絕對值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.
5、倒數(shù):乘積為1的兩個數(shù)
6、乘方:求相同因數(shù)的積的運算叫乘方,乘方運算的結(jié)果叫冪.(平方和立方)
7、平方根:一般地,如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a那么這個數(shù)x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);0只有一個平方根,它是0本身;負(fù)數(shù)沒有平方根.(算術(shù)平方根:一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根,0的算術(shù)平方根是0.)
二次根式
1.二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式:
(1)最簡二次根式的定義:
、俦婚_方數(shù)是整數(shù),因式是整式;
、诒婚_方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式;
③分母中不含根式。
(2)最簡二次根式必須同時滿足下列條件:
①被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式;
、诒婚_方數(shù)中不含分母;
、鄯帜钢胁缓。
3.同類二次根式(可合并根式):
幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,這幾個二次根式就叫做同類二次根式,即可以合并的兩個根式。
4.二次根式的性質(zhì)
(1)非負(fù)性:是一個非負(fù)數(shù).
注意:此性質(zhì)可作公式記住,后面根式運算中經(jīng)常用到.
(2) .注意:此性質(zhì)既可正用,也可反用,反用的意義在于,可以把任意一個非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式:
(3)注意:
①字母不一定是正數(shù).
、谀荛_得盡方的因式移到根號外時,必須用它的算術(shù)平方根代替.
、劭梢频礁杻(nèi)的因式,必須是非負(fù)因式,如果因式的值是負(fù)的,應(yīng)把負(fù)號留在根號外.
(4)公式與的區(qū)別與聯(lián)系:
①表示求一個數(shù)的平方的算術(shù)根,a的范圍是一切實數(shù).
②表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的平方,a的范圍是非負(fù)數(shù).
③ 和的運算結(jié)果都是非負(fù)的.
八年級上冊數(shù)學(xué)期末重點筆記
1.全等三角形:兩個三角形的形狀、大小、都一樣時,其中一個可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等運動(或稱變換)使之與另一個重合,這兩個三角形稱為全等三角形。
2.三角形全等的判定公理及推論有:“邊角邊”簡稱“SAS”“角邊角”簡稱“ASA”“邊邊邊”簡稱“SSS”“角角邊”簡稱“AAS”斜邊和直角邊相等的兩直角三角形(HL)。
3.角平分線推論:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在叫的平分線上。
4.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟:
①確定已知條件(包括隱含條件,如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系)
②回顧三角形判定,搞清我們還需要什么。
、壅_地書寫證明格式(順序和對應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題)。
軸對稱知識概念
1.對稱軸:如果一個圖形沿某條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形;這條直線叫做對稱軸。
2.性質(zhì):軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。角平分線上的點到角兩邊距離相等。線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等。與一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。
3.等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩個底角相等,(等邊對等角)
4.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合,簡稱為“三線合一”。
5.等腰三角形的判定:等角對等邊。
6.等邊三角形角的特點:三個內(nèi)角相等,等于60°,
7.等邊三角形的判定:三個角都相等的三角形是等腰三角形。有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形,有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。
8.直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
9.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
10.同底數(shù)冪的乘法法則:冪的乘方法則:(m,n都是正數(shù))
11.整式的乘法
(1)單項式乘法法則:單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,連同它的指數(shù)作為積的一個因式。
(2)單項式與多項式相乘:單項式乘以多項式,是通過乘法對加法的分配律,把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式,即單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。
(3)多項式與多項式相乘:多項式與多項式相乘,先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。
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