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數(shù)學(xué)試題

代數(shù)綜合中考數(shù)學(xué)題

時(shí)間:2025-05-09 02:41:32 數(shù)學(xué)試題 我要投稿
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代數(shù)綜合中考數(shù)學(xué)題匯總

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代數(shù)綜合中考數(shù)學(xué)題匯總

  考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題

  分析: (1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;

  (2)根據(jù)已知得出△OPQ的高,進(jìn)而利用三角形面積公式求出即可;

  (3)根據(jù)題意得出:0≤t≤3,當(dāng)0≤t≤2時(shí),Q在BC邊上運(yùn)動(dòng),得出若△OPQ為直角三角形,只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°,當(dāng)2

  (4)首先求出拋物線對(duì)稱軸以及OB直線解析式和PM的解析式,得出 (1﹣t)× =3﹣t﹣2t,恒成立,即0≤t≤2時(shí),P,M,Q總在一條直線上,再利用2

  解答: 解:(1)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,把A(6,0),B(3, ),C(1, )三點(diǎn)坐標(biāo)代入得:

  ,

  解得: ,

  即所求拋物線解析式為:y=﹣ x2+ x+ ;

  (2)如圖1,依據(jù)題意得出:OC=CB=2,∠COA=60°,

  ∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到OC邊時(shí),OQ=4﹣t,

  ∴△OPQ的高為:OQ×sin60°=(4﹣t)× ,

  又∵OP=2t,

  ∴S= ×2t×(4﹣t)× =﹣ (t2﹣4t)(2≤t≤3);

  (3)根據(jù)題意得出:0≤t≤3,

  當(dāng)0≤t≤2時(shí),Q在BC邊上運(yùn)動(dòng),此時(shí)OP=2t,OQ= ,

  PQ= = ,

  ∵∠POQ<∠POC=60°,

  ∴若△OPQ為直角三角形,只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°,

  若∠OPQ=90°,如圖2,則OP2+PQ2=QO2,即4t2+3+(3t﹣3)2=3+(3﹣t)2,

  解得:t1=1,t2=0(舍去),

  若△OPQ為直角三角形,只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°,

  若∠OQP=90°,如圖,3,則OQ2+PQ2=PO2,即(3﹣t)2+6+(3t﹣3)2=4t2,

  解得:t=2,

  當(dāng)24,

  ∠POQ=∠COP=60°,

  OQ

  故△OPQ不可能為直角三角形,

  綜上所述,當(dāng)t=1或t=2時(shí),△OPQ為直角三角形;

  (4)由(1)可知,拋物線y=﹣ x2+ x+ =﹣ (x﹣2)2+ ,

  其對(duì)稱軸為x=2,

  又∵OB的直線方程為y= x,

  ∴拋物線對(duì)稱軸與OB交點(diǎn)為M(2, ),

  又∵P(2t,0)

  設(shè)過(guò)P,M的直線解析式為:y=kx+b,

  ∴ ,

  解得: ,

  即直線PM的解析式為:y= x﹣ ,

  即 (1﹣t)y=x﹣2t,

  又0≤t≤2時(shí),Q(3﹣t, ),代入上式,得:

  (1﹣t)× =3﹣t﹣2t,恒成立,

  即0≤t≤2時(shí),P,M,Q總在一條直線上,

  即M在直線PQ上;

  當(dāng)2

  ∴Q( , ),

  代入上式得: × (1﹣t)= ﹣2t,

  解得:t=2或t= (均不合題意,舍去).

  ∴綜上所述,可知過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸OB和PQ能夠交于一點(diǎn),此時(shí)0≤t≤2.

  點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí),利用分類討論思想得出t的值是解題關(guān)鍵.

  13、(2013•荊門壓軸題)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1

  (1)當(dāng)k=1,m=0,1時(shí),求AB的長(zhǎng);

  (2)當(dāng)k=1,m為任何值時(shí),猜想AB的長(zhǎng)是否不變?并證明你的猜想.

  (3)當(dāng)m=0,無(wú)論k為何值時(shí),猜想△AOB的形狀.證明你的猜想.

  (平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 ).

  考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.

  分析: (1)先將k=1,m=0分別代入,得出二次函數(shù)的解析式為y=x2,直線的解析式為y=x+1,聯(lián)立 ,得x2﹣x﹣1=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=1,x1•x2=﹣1,過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的平行線,兩線交于點(diǎn)C,證明△ABC是等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理得出AB= AC,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式求出AB= ;同理,當(dāng)k=1,m=1時(shí),AB= ;

  (2)當(dāng)k=1,m為任何值時(shí),聯(lián)立 ,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1,同(1)可求出AB= ;

  (3)當(dāng)m=0,k為任意常數(shù)時(shí),分三種情況討論:①當(dāng)k=0時(shí),由 ,得A(﹣1,1),B(1,1),顯然△AOB為直角三角形;②當(dāng)k=1時(shí),聯(lián)立 ,得x2﹣x﹣1=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=1,x1•x2=﹣ 1,同(1)求出AB= ,則AB2=10,運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及完全平方公式求出OA2+OB2=10,由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形;③當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)時(shí),聯(lián)立 ,得x2﹣kx﹣1=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=k,x1•x2=﹣1,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4,OA2+OB2═k4+5k2+4,由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形.

  解答: 解:(1)當(dāng)k=1,m=0時(shí),如圖.

  由 得x2﹣x﹣1=0,

  ∴x1+x2=1,x1•x2=﹣1,

  過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的平行線,兩線交于點(diǎn)C.

  ∵直線AB的解析式為y=x+1,

  ∴∠BAC=45°,△ABC是等腰直角三角形,

  ∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ;

  同理,當(dāng)k=1,m=1時(shí),AB= ;

  (2)猜想:當(dāng)k=1,m為任何值時(shí),AB的長(zhǎng)不變,即AB= .理由如下:

  由 ,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,

  ∴x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1,

  ∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ;

  (3)當(dāng)m=0,k為任意常數(shù)時(shí),△AOB為直角三角形,理由如下:

 、佼(dāng)k=0時(shí),則函數(shù)的圖象為直線y=1,

  由 ,得A(﹣1,1),B(1,1),

  顯然△AOB為直角三角形;

 、诋(dāng)k=1時(shí),則一次函數(shù)為直線y=x+1,

  由 ,得x2﹣x﹣1=0,

  ∴x1+x2=1,x1•x2=﹣1,

  ∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ,

  ∴AB2=10,

  ∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22

  =x12+x22+y12+y22

  =x12+x22+(x1+1)2+(x2+1)2

  =x12+x22+(x12+2x1+1)+(x22+2x2+1)

  =2(x12+x22)+2(x1+x2)+2=2(1+2)+2×1+2

  =10,

  ∴AB2=OA2+OB2,

  ∴△AOB是直角三角形;

 、郛(dāng)k為任意實(shí)數(shù),△AOB仍為直角三角形.

  由 ,得x2﹣kx﹣1=0,

  ∴x1+x2=k,x1•x2=﹣1,

  ∴AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2

  =(x1﹣x2)2+(kx1﹣kx2)2

  =(1+k2)(x1﹣x2)2

  =(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1•x2]

  =(1+k2)(4+k2)

  =k4+5k2+4,

  ∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22

  =x12+x22+y12+y22

  =x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2

  =x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1)

  =(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2

  =(1+k2)(k2+2)+2k •k+2

  =k4+5k2+4,

  ∴AB2=OA2+OB2,

  ∴△AOB為直角三角形.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式,完全平方公式,勾股定理的逆定理,有一定難度.本題對(duì)式子的變形能力要求較高,體現(xiàn)了由特殊到一般的思想.

  14、(2013•黔東南州壓軸題)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4),它與直線y2=x+1的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

  (1)求拋物線的解析式;

  (2)在給出的坐標(biāo)系中畫出拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)及直線y2=x+1的圖象,并根據(jù)圖象,直接寫出使得y1≥y2的x的取值范圍;

  (3)設(shè)拋物線與x軸的右邊交點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,交直線y2=x+1于點(diǎn)B,點(diǎn)P在拋物線上,當(dāng)S△PAB≤6時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

  考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.

  分析: (1)首先求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

  (2)確定出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),依題意畫出函數(shù)的圖象.由圖象可以直觀地看出使得y1≥y2的x的取值范圍;

  (3)首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)度;設(shè)△PAB中,AB邊上的高為h,則由S△PAB≤6可以求出h的范圍,這是一個(gè)不等式,解不等式求出xP的取值范圍.

  解答: 解:(1)∵拋物線與直線y2=x+1的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

  ∴交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2+1=3,即交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

  設(shè)拋物線的解析式為y1=a(x﹣1)2+4,把交點(diǎn)坐標(biāo)(2,3)代入得:

  3=a(2﹣1)2+4,解得a=﹣1,

  ∴拋物線解析式為:y1=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3.

  (2)令y1=0,即﹣x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=﹣1,

  ∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(﹣1,0).

  在坐標(biāo)系中畫出拋物線與直線的圖形,如圖:

  根據(jù)圖象,可知使得y1≥y2的x的取值范圍為﹣1≤x≤2.

  (3)由(2)可知,點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,0).

  令x=3,則y2=x+1=3+1=4,∴B(3,4),即AB=4.

  設(shè)△PAB中,AB邊上的高為h,則h=|xP﹣xA|=|xP﹣3|,

  S△PAB=AB•h=×4×|xP﹣3|=2|xP﹣3|.

  已知S△PAB≤6,2|xP﹣3|≤6,化簡(jiǎn)得:|xP﹣3|≤3,

  去掉絕對(duì)值符號(hào),將不等式化為不等式組:﹣3≤xP﹣3≤3,

  解此不等式組,得:0≤xP≤6,

  ∴當(dāng)S△PAB≤6時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為0≤xP≤6.

  點(diǎn)評(píng): 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積、解不等式(組)等知識(shí)點(diǎn).題目難度不大,失分點(diǎn)在于第(3)問(wèn),點(diǎn)P在線段AB的左右兩側(cè)均有取值范圍,注意不要遺漏.

  15、(13年北京7分23)在平面直角坐標(biāo)系 O 中,拋物線

  ( )與 軸交于點(diǎn)A,其對(duì)稱軸與 軸交于點(diǎn)B。

  (1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);

  (2)設(shè)直線與直線AB關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,求直線的解析式;

  (3)若該拋物線在 這一段位于直線的上方,并且在 這一段位于直線AB的下方,求該拋物線的解析式。

  解析:【解析】(1)當(dāng) 時(shí), .

  ∴

  拋物線對(duì)稱軸為

  ∴

  (2)易得 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為

  則直線 經(jīng)過(guò) 、 .

  沒(méi)直線的解析式為

  則 ,解得

  ∴直線的解析式為

  (3)∵拋物線對(duì)稱軸為

  拋物體在 這一段與在 這一段關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

  結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在 這一段位于直線 的上方

  在 這一段位于直線 的下方;

  ∴拋物線與直線 的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ;

  當(dāng) 時(shí),

  則拋物線過(guò)點(diǎn)(-1,4)

  當(dāng) 時(shí), ,

  ∴拋物線解析為 .

  【點(diǎn)評(píng)】本題第(3)問(wèn)主要難點(diǎn)在于對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)和了解,要能夠觀察到直線 與直線

  關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

  ∵拋物線在 這一段位于直線 的下方,

  ∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱后拋物線在 這一段位于直線 的下方;

  再結(jié)合拋物線在 這一段位于直線 的上方;

  從而拋物線必過(guò)點(diǎn) .

  考點(diǎn):代數(shù)綜合(二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像對(duì)稱、二次函數(shù)的圖像對(duì)稱、數(shù)形結(jié)合思想、二次函數(shù)解析式的確定)

  16、(2013年深圳市壓軸題)如圖7-1,直線AB過(guò)點(diǎn)A( ,0),B(0, ),且 (其中 >0, >0)。

  (1) 為何值時(shí),△OAB面積最大?最大值是多少?

  (2)如圖7-2,在(1)的條件下,函數(shù) 的圖像與直線AB相交于C、D兩點(diǎn),若 ,求 的值。

  (3)在(2)的條件下,將△OCD以每秒1個(gè)單位的速度沿 軸的正方向平移,如圖7-3,設(shè)它與△OAB的重疊部分面積為S,請(qǐng)求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系式(0<<10)。

  17、(德陽(yáng)市2013年壓軸題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO(O為原點(diǎn)),點(diǎn)A、C分別在

  x軸、y軸上,且C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),將△BCD沿BD折疊(D點(diǎn)在OC邊上),使C點(diǎn)落

  在DA邊的E點(diǎn)上,并將△BAE沿BE折疊,恰好使點(diǎn)A落在BD邊的F點(diǎn)上.

  (1)求BC的長(zhǎng),并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式;

  (2)過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸,垂足為G,F(xiàn)G的中點(diǎn)為H,若拋物線 經(jīng)過(guò)B,

  H, D三點(diǎn),求拋物線解析式;

  (3)點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn),且點(diǎn)P在(2)中的拋物線上運(yùn)動(dòng)(不含B, D點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)

  P作PN⊥BC,分別交BC 和 BD于點(diǎn)N, M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使 如果

  存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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