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高一數(shù)學(xué)下學(xué)期單元測試題用二分法求方程的近似解測試
1.下列函數(shù)零點(diǎn)不宜用二分法的是()
A.f(x)=x3-8 B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+22x+2 D.f(x)=-x2+4x+1
【解析】 由題意知選C.
【答案】 C
2.用二分法求方程f(x)=0在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，則方程的根在區(qū)間()
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)
C.(1.5,2) D.不能確定
【解析】 由題意知f(1.25)f(1.5)0，方程的根在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)，故選A.
【答案】 A
3.若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確度0.1)為________.
【解析】 根據(jù)題意知函數(shù)的零點(diǎn)在1.406 25至1.437 5之間，
因?yàn)榇藭r|1.437 5-1.406 25|=0.031 250.1，故方程的一個近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之間的任意一個數(shù).
【答案】 1.437 5
4.求函數(shù)f(x)=x2-5的負(fù)零點(diǎn)(精確度0.1).
【解析】 由于f(-2)=-10，
f(-3)=40，
故取區(qū)間(-3，-2)作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如圖：
區(qū)間 中點(diǎn) 中點(diǎn)函數(shù)值(或近似值)
(-3，-2) -2.5 1.25
(-2.5，-2) -2.25 0.0625
(-2.25，-2) -2.125 -0.484 4
(-2.25，-2.125) -2.187 5 -0.214 8
(-2.25，-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1
由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 50.1，
所以函數(shù)的一個近似負(fù)零點(diǎn)可取-2.25.
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1.方程12x=ln x的根的個數(shù)是()
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 方法一：令f(x)=ln x-12x，
則f(1)=-120，f(e)=1-12e0，
f(x)在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn).又f(x)在定義域(0，+)上為增函數(shù)，
f(x)在定義域內(nèi)僅有1個零點(diǎn).
方法二：作出y=12x與y=ln x的圖象觀察可知只有一個交點(diǎn).故選B.
【答案】 B
2.方程2x-1+x=5的解所在的區(qū)間是()
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】 令f(x)=2x-1+x-5，則f(2)=2+2-5=-10，f(3)=22+3-5=20，從而方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有解.故選C.
【答案】 C
3.利用計(jì)算器，算出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4
y=2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556
y=x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56
那么方程2x=x2的一個根所在區(qū)間為()
A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8)
C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)
【解析】 設(shè)f(x)=2x-x2，由表格觀察出在x=1.8時，2xx2，即f(1.8)在x=2.2時，2x
【答案】 C
4.函數(shù)f(x)=ex-1x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()
A.0，12 B.12，1
C.1，32 D.32，2
【解析】 f(12)=e-20，
f(1)=e-10，
∵f(12)f(1)0，
f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間12，1內(nèi)，故選B.
【答案】 B
二、填空題(每小題5分，共10分)
5.用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗(yàn)證f(2)f(4)0，給定精確度=0.01，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x1=2+42=3，計(jì)算得f(2)f(x1)0，則此時零點(diǎn)x0________(填區(qū)間).
【解析】 由f(2)f(3)0可知.
【答案】 (2,3)
6.用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實(shí)數(shù)根時，取區(qū)間中間x0=2.5，那么下一個有根區(qū)間是________.
【解析】 ∵f(2)0，f(2.5)0，
下一個有根區(qū)間是(2,2.5).
【答案】 (2,2.5)
三、解答題(每小題10分，共20分)
7.求方程2x3+3x-3=0的一個近似解(精確度0.1).
【解析】 設(shè)f(x)=2x3+3x-3，經(jīng)試算，f(0)=-30，f(1)=20，所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x3+3x-3=0在(0,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)內(nèi)有解.
如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表：
(a，b) (a，b)的中點(diǎn) f(a) f(b) fa+b2
(0,1) 0.5 f(0)0 f(1)0 f(0.5)0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)0 f(1)0 f(0.75)0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)0 f(0.75)0 f(0.625)0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)0 f(0.75)0 f(0.687 5)0
因?yàn)閨0.687 5-0.75|=0.062 50.1，所以方程2x3+3x-3=0的精確度為0.1的一個近似解可取為0.75.
8.求方程ln x+x-3=0在(2,3)內(nèi)的根(精確到0.1).
【解析】 令f(x)=ln x+x-3，即求函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)的零點(diǎn).
用二分法逐步計(jì)算.列表如下：
區(qū)間 中點(diǎn) 中點(diǎn)函數(shù)值
[2,3] 2.5 0.416 3
[2,2.5] 2.25 0.060 9
[2,2.25] 2.125 -0.121 2
[2.125,2.25] 2.187 5 -0.029 7
[2.187 5,2.25]
由于區(qū)間[2.187 5,2.25]的長度2.25-2.187 5=0.062 50.1，所以其兩個端點(diǎn)的近似值2.2就是方程的根.
9.(10分)在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條10 km長的線路，如何迅速查出故障所在?
如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個點(diǎn)要爬一次電線桿子，10 km長，大約有200多根電線桿子呢!想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理?
【解析】
他首先從點(diǎn)C查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再查BC段中點(diǎn)D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再查CD中點(diǎn)E.
這樣每查一次，就可以把待查的線路長度縮減一半，故經(jīng)過7次查找，即可將故障發(fā)生的范圍縮小到50 m～100 m之間，即一兩根電線桿附近.
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