考研數(shù)學極限有哪些運算方法和適用情況
極限是整個高等數(shù)學學習的工具，我們在考研數(shù)學的時候，要掌握好運算方法和適用情況。小編為大家精心準備了考研數(shù)學極限的計算方法指南，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學極限七種運算方法及適用情況
基礎階段，我們的目標是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基礎階段學習極限應從兩個方面著手，一是極限的定義，二是極限的運算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解，理解的意思并不是會背誦定義內(nèi)容，而是能夠領(lǐng)會定義內(nèi)容背后的所蘊含的含義，正確理解所代表的任意小以及代表的距離。
除定義本身以外，極限的趨近狀態(tài)也要注意區(qū)分，對于函數(shù)來說有六種趨近狀態(tài)：各自的含義要非常清楚，而數(shù)列只有一種趨近狀態(tài)，雖然沒有指明，但是數(shù)列里邊的隱含之意為。
極限的計算則需要首先掌握考研數(shù)學要考到的七種基本方法，知道七種方法適用的情況。
第一種是四則運算，此方法大家最為熟悉，但比較容易出錯，需要注意使用四則運算的前提是進行運算的函數(shù)極限必須都是存在的;
第二種是等價無窮小替換，這一方法比較受歡迎，而且很多極限計算的問題只需經(jīng)過等價無窮小代換就能得出結(jié)果，不需再使用其他方法，需要注意的是等價無窮小代換前提必須首先是無窮小才可代換，另外只能在乘積因子內(nèi)代換(有些是可以在加減因子中代換的，但是在沒有十足把握的情況下應避免使用在加減因子中代換);
第三種是洛必達法則，適用于及 型未定式，在使用的過程中需要注意一下幾點：
1、洛必達法則必須結(jié)合等價無窮小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他類型未定式需要轉(zhuǎn)化成 及 型才可以使用洛必達法則等;
第四種是泰勒展式，這是解決極限問題的利器，在基礎階段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的內(nèi)容即可，具體使用原則會在強化階段給出;
第五種是夾逼定理，主要用于解決含有不等式關(guān)系的極限問題，特別應用于 個分式之和的數(shù)列極限問題，通過放縮分母來達到出現(xiàn)不等關(guān)系的目的;
第六種是定積分的定義，與夾逼定理相區(qū)別，夾逼定理解決的問題放縮分母后分子可用一個式子去表示，而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問題，通過主要的三步：1、提取，2、湊出，3、極限符號及連加符號改寫為，改寫為，改寫為計算定積分即可解決個分式之和的數(shù)列極限問題;
第七種方法是適用于數(shù)列極限的單調(diào)有界性定理，難點在于如何確定證明方向，一般單調(diào)有界性定理適用于由遞推公式給出的數(shù)列極限問題，因此可采取數(shù)學歸納法證明有界性，做差的辦法證明單調(diào)性。
以上，從大的框架結(jié)構(gòu)上給出了極限一章極限定義和極限計算的常用方法，希望同學們對這一章有一個宏觀的把握，但是具體的細節(jié)掌握還要待進一步細致的學習。在復習的過程中要多留心多總結(jié)把重要的方法記錄下來，錯題記錄下來方便后續(xù)的自我檢查。
考研數(shù)學復習巧答證明題的方法
1.結(jié)合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結(jié)論。
知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數(shù)學一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
2.借助幾何意義尋求證明思路
一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學一第18題(1)是關(guān)于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。
3.逆推法
從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數(shù)的符號判定一階導數(shù)的單調(diào)性，再用一階導的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。
對于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的考生來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數(shù)的白白流失。
考研數(shù)學備考的'禁忌
一、復習初期，禁止“眼高、手高“不下手
復習初期，大部分考生的心情還比較浮躁，特別是有部分程度較好的考生，認為這些內(nèi)容已經(jīng)學過了，并且當時學得很好，期末考了很不錯的分數(shù)，現(xiàn)在只把教材上的內(nèi)容掃一遍就可以了，復習時不夠認真，只是看書而疏于動手練習。持續(xù)一兩個月之后，這樣的考生就會發(fā)現(xiàn)自己經(jīng)常遇到這樣一種狀況：拿到題目后自己做，沒有思路;看過答案之后，一步一步又好像全都明白，再做，還是無從下手。這正是眼高手低的典型表現(xiàn)。
“眼高手低”是很多考生在復習數(shù)學時易犯的錯誤，很多考生對基礎性的東西不屑一顧，認為這些內(nèi)容很簡單，用不著下勁復習，還有的考生只是“看”，認為看懂就行了，很少下筆去做題，結(jié)果在最后的考試中眼熟手生，難以取得好的成績。所以，在我們還沒有建立起來完備的知識結(jié)構(gòu)之前，一帶而過的復習必然會難以把握題目中的重點，忽略精妙之處。題目看懂了不代表這個題目就會做了，其實真正動手就會碰到很多問題，去解決這些問題就是提高自己的過程。只有通過動手練習，我們才能規(guī)范答題模式，提高解題和運算的熟練程度，這些都要通過自己不斷的摸索練習來加以體會。
二、做題，需要注重總結(jié)歸納
有一部分考生認為：歸納總結(jié)是復習進行到后期才做的事情，現(xiàn)在只要能熟悉大綱的知識點及考察重點，把遇到的題都做會就可以了。確實，數(shù)學的復習離開了做題不行，但沉浸在題海里，每天做許多題目，從來不總結(jié)，這樣的結(jié)果往往是做錯的題目再次做時還是會犯錯。及時的歸納和總結(jié)，才能將你所做的大量題目變?yōu)樽约赫莆盏闹R，將你的數(shù)學基礎和結(jié)構(gòu)體系夯實打牢。
比如說：求極限的方法大體超不過七種：1分子分母同乘同除2變量代換3非零因子的提出4羅比答法則5等價無窮小6夾逼7臺勒公式。再比如：級數(shù)斂散性的判別方法：1一般比較法2極限比較法3比值法4根值法;再比如線性代數(shù)中證明線性無關(guān)的方法有：1定義法(同乘或拆項重組)2秩判別法3齊次方程AX=0只有零解4反證法。等等。需要說明的是，方法雖然提倡越多越好，但是課本上沒有的或是超綱的我們就沒有必要深究了，比如說有的考研輔導書所介紹的微分算子法來求解微分方程，我覺得就沒有必要去記憶它，畢竟這個方法有其局限性，不是面面俱到。若沉迷于此技巧的話，考試中出的題恰好是它的盲區(qū)，那就虧大了!有的書還介紹分布積分的表格法，速度確實挺快，但是也有局限性，不太容易靈活應用，況且一般的方法也慢不到哪去，為什么還要多此一舉呢?所以說在總結(jié)方法時不在于多，而在于精。核心是有助于自己的解題習慣，使自己更加方便的征服考題。
三、堅持到底，拒絕“三天打漁兩天曬網(wǎng)”
還有的考生認為現(xiàn)在離考試還遠，沒有緊迫感。今天沒事干就看看書做兩個題，明天有些事情就把書放在一邊不理會了。這樣的結(jié)果是看了后面忘了前面，知識沒有連續(xù)性，形不成體系�？佳械穆烦淌锹L的，數(shù)學的學習是枯燥的，在復習過程中需要考生具有堅強的毅力。雖然2013的數(shù)學考試大綱未頒布，但萬變不離其宗，考研數(shù)學的基本內(nèi)容一般變化不大，考生可以參照去年的大綱和試題進行復習。詳細了解本專業(yè)應考的數(shù)學卷種的基本要求，考試的題型、類別和難易度，以便更好的展開復習。凡是在大綱中表述為“會”、“理解”、“掌握”等的考試內(nèi)容往往都是主要考點，務必要作為復習的重點。
數(shù)學復習不像英語、政治對輔導書的依賴性很大，主要靠課本來打下堅實的基礎。翻一下數(shù)學大[微博]綱，上面列出的知識點全部來源于課本。所以考生一定要老老實實參照大綱的要求把原來的課本找出來，按照大綱對數(shù)學基本概念、基本方法、基本定理準確把握。數(shù)學學習中最重要的莫過于堅實的基礎，包括對定理公式的深入理解，對基本運算的熟練和高正確率，對最基本的一些解題方法的掌握和運用。
最后，數(shù)學教研室李老師提示大家：最深刻的道理，往往存在于最簡單的事實之中�？忌鷤円屑�、認真地分析每道題的考點，無論是多難的題目，最后都歸結(jié)到數(shù)學課本上的知識點。重視基礎，就是搞好第一輪數(shù)學復習的關(guān)鍵，更是一種態(tài)度，“態(tài)度決定一切”。
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