考研數(shù)學(xué)證明題答題詳解
考生們在準(zhǔn)備考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)時，需要把證明題的答題方法掌握好。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)證明題答題秘訣，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)證明題答題技巧
證明題可以分三步走：
第一步：結(jié)合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。了解基本原理是證明的基礎(chǔ)，了解的程度不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目中文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)有三個零點，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)及在上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。
第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。
對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的分?jǐn)?shù)，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來說，卻常常輕易丟失，后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來建立自信心，以防止分?jǐn)?shù)的白白流失。
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高數(shù)必考題型
1.求極限
無論數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二還是數(shù)學(xué)三，求極限是高等數(shù)學(xué)的基本要求，所以也是每年必考的內(nèi)容。區(qū)別在于有時以4分小題形式出現(xiàn)，題目簡單;有時以大題出現(xiàn)，需要使用的方法綜合性強(qiáng)。比如大題可能需要用到等價無窮小代換、泰勒展開式、洛比達(dá)法則、分離因式、重要極限等幾種方法，有時考生需要選擇多種方法綜合完成題目。另外，分段函數(shù)在個別點處的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)圖形的漸近線，以極限形式定義的函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性的研究等也需要使用極限手段達(dá)到目的，須引起注意!
2.利用中值定理證明等式或不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式
證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及。等式的證明包括使用4個常見的微分中值定理(即羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理)，1個定積分中值定理;不等式的證明有時既可使用中值定理，也可使用函數(shù)單調(diào)性。這里泰勒中值定理的使用時的'一個難點，但考查的概率不大。
3.一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)
求導(dǎo)數(shù)問題主要考查基本公式及運算能力，當(dāng)然也包括對函數(shù)關(guān)系的處理能力。一元函數(shù)求導(dǎo)可能會以參數(shù)方程求導(dǎo)、變限積分求導(dǎo)或應(yīng)用問題中涉及求導(dǎo)，甚或高階導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)(主要為二元函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)基本上每年都會考查，給出的函數(shù)可能是較為復(fù)雜的顯函數(shù)，也可能是隱函數(shù)(包括方程組確定的隱函數(shù))。
另外，二元函數(shù)的極值與條件極值與實際問題聯(lián)系極其緊密，是一個考查重點。極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。
4.級數(shù)問題
常數(shù)項級數(shù)(特別是正項級數(shù)、交錯級數(shù))斂散性的判別，條件收斂與絕對收斂的本質(zhì)含義均是考查的重點，但常常以小題形式出現(xiàn)。函數(shù)項級數(shù)(冪級數(shù)，對數(shù)一的考生來說還有傅里葉級數(shù)，但考查的頻率不高)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)等及函數(shù)在一點的冪級數(shù)展開在考試中常占有較高的分值。
5.積分的計算
積分的計算包括不定積分、定積分、反常積分的計算，以及二重積分的計算，對數(shù)一考生來說常主要是三重積分、曲線積分、曲面積分的計算。這是以考查運算能力與處理問題的技巧能力為主，以對公式的熟悉及空間想象能力的考查為輔的。需要注意在復(fù)習(xí)中對一些問題的靈活處理，例如定積分幾何意義的使用，重心、形心公式的使用，對稱性的使用等。
6.微分方程
解常微分方程方法固定，無論是一階線性方程、可分離變量方程、齊次方程還是高階常系數(shù)齊次與非齊次方程，只要記住常用形式，注意運算準(zhǔn)確性，在考場上正確運算都沒有問題。但這里需要注意：研究生考試對微分方程的考查常有一種反向方式，即平常給出方程求通解或特解，現(xiàn)在給出通解或特解求方程。這需要考生對方程與其通解、特解之間的關(guān)系熟練掌握。
考研數(shù)學(xué)沖刺階段的線代和概率復(fù)習(xí)
實際上對于線性代數(shù)來講是考研數(shù)學(xué)中比較容易拿分的部分，但是這門課程的難點就在于入門，入門的時候往往就讓很多考望而卻步了，但其實只要深入的進(jìn)行學(xué)習(xí)就會無師自通，這門課由于思維上與高數(shù)南轅北轍所以一上來會很不適應(yīng)，總體而言6章內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣，所以很多同學(xué)一上來看第一章發(fā)現(xiàn)內(nèi)容涉及到第五章，看到第二章發(fā)現(xiàn)竟有第4章的知識點，無法形成完整的知識網(wǎng)絡(luò)，自然無法入門。這里在復(fù)習(xí)上就有技巧可續(xù)，具體復(fù)習(xí)方法請大家往下看。
線性代數(shù)總共六章內(nèi)容我們可以分成三個部分進(jìn)行復(fù)習(xí)，逐個進(jìn)行突破比整體看待要容易很多。首先是行列式和矩陣，這里說的是第三第五和第六章，為什么要對這三個部分進(jìn)行整體的復(fù)習(xí)呢，因為他們的內(nèi)容關(guān)聯(lián)性比較大，逐個突破，以兩章為一個單位。我們在復(fù)習(xí)的初期應(yīng)該把每 個章節(jié)中出現(xiàn)的知識點和定理都整理出來記在筆記本上，找到他們彼此的關(guān)系，將知識點整體框架化。同學(xué)們在整理時可以以樹形圖的方式，最后根據(jù)每一個知識點各個擊破。第5章不用細(xì)看，第六章第七章主要是記憶，在記憶的基礎(chǔ)上盡可能的理解。浙大版的書上每章的課后題相當(dāng)經(jīng)典，請同學(xué)們反復(fù)推敲，做過之后，再進(jìn)行一遍總結(jié)，針對題型對應(yīng)知識點進(jìn)行復(fù)習(xí)和歸類。
這兩門課程的做題技巧完全體現(xiàn)在知識點的連貫性和總結(jié)基礎(chǔ)上，零散的看書完全達(dá)不到這些目的，只有看書也不能幫助你在這兩門課程上拿到好的成績。一定要在筆記整理方面下功夫，筆記的整理主要為了方便記憶，也是對知識點整理后的形象記憶法。最后根據(jù)這個大綱來一個各個擊破，講每個部分的內(nèi)容所出現(xiàn)的題型，一口氣做20道，在總結(jié)相應(yīng)的思路，同時打開自己總結(jié)的筆記，來一個反饋。最好將自己的總結(jié) 筆記分成兩類，一類是知識點筆記，一類是題型思路歸納，這樣一來反饋學(xué)習(xí)效果更明顯，思路更清晰。
另外要學(xué)會發(fā)現(xiàn)和找到自身的短板和薄弱項，要知道自己哪里不會。那個題做錯了也是要注意的問題，錯了不能只知道正確答案就行，要知道哪里錯了為什么錯了。正確答題的思路是什么，只有這樣才能真正的了解到錯誤的意義，做題才沒有白做。這樣給自己接下來的學(xué)習(xí)指明方向，明白下一步應(yīng)該復(fù)習(xí)哪里，針對哪里進(jìn)行練習(xí)。
考研復(fù)習(xí)沖刺階段，同學(xué)們要注意安排有效的復(fù)習(xí)計劃，并按計劃安排執(zhí)行，這樣才能在時間緊的情況下完成繁重的復(fù)習(xí)任務(wù)，預(yù)祝大家考試順利。
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