數(shù)學(xué)歷史：方法論的線索

　　數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科，它伴隨著人類文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生，至少有四、五千年的歷史。數(shù)學(xué)的最初的概念和原理在遠(yuǎn)古時(shí)代就萌芽了，經(jīng)過四千多年世界許多民族的共同努力，才發(fā)展到今天這樣內(nèi)容豐富、分支眾多、應(yīng)用廣泛的龐大系統(tǒng)。了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史有助于培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，下面的內(nèi)容希望對他們能有所幫助!

　　定理證明和數(shù)值計(jì)算是數(shù)學(xué)中兩項(xiàng)最主要的活動形式。證明主要是用演繹法，以公理化思想為主；計(jì)算若是按一定程序，即按一種機(jī)械的過程進(jìn)行就叫做機(jī)械化思想的算法。貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中，有兩個(gè)中心思想，一個(gè)是公理化思想，另一個(gè)是機(jī)械化思想。公理化思想源于古希臘，歐幾里得的《幾何原本》是公理化思想的代表。機(jī)械化思想則貫穿于整個(gè)中國古代數(shù)學(xué)，《九章算術(shù)》為其代表。作為數(shù)學(xué)兩種主流的公理化思想和機(jī)械化思想都對數(shù)學(xué)的發(fā)展起過巨大的作用�，F(xiàn)在我們從思想力法論的角度，即從數(shù)學(xué)發(fā)展中以公理化思想為主的演繹傾向和以機(jī)械化思想為主的算法傾向交替取得主導(dǎo)地位的線索來描述整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史。

　　古代巴比倫和埃及的原始算法最早占主導(dǎo)地位，后來被希臘式的演繹幾何所接替。到中世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)衰落下去，算法傾向在中國、印度和阿拉伯地區(qū)繁榮起來。17、18世紀(jì)是歐洲人尋求無窮小算法的英雄年代，而從19世紀(jì)初，羅巴切夫斯基非歐幾何出現(xiàn)以后，特別是70年代起，幾何演繹傾向又重新在比古希臘幾何高得多的水準(zhǔn)上占優(yōu)勢。近代數(shù)學(xué)時(shí)期的演繹傾向是從19世紀(jì)20至30年代開始，在70年代以后進(jìn)入全盛時(shí)期。這個(gè)新的演繹時(shí)代與古希臘—個(gè)顯著的不同是演繹方法的`運(yùn)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何而擴(kuò)展到其他領(lǐng)域，首先是數(shù)學(xué)分析。探討微積分運(yùn)算的嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)，導(dǎo)致了從柯西極限論到外爾斯特拉斯的極限算術(shù)化和康托爾集合論貫穿了整個(gè)19世紀(jì)的分析嚴(yán)格化運(yùn)動。自外爾斯特拉斯以后，現(xiàn)代分析幾乎完全改變了牛頓、萊布尼茲，乃至歐拉、拉格朗日時(shí)代的風(fēng)貌而成為抽象的演繹科學(xué)，如果說，17世紀(jì)將代數(shù)算法運(yùn)用于幾何而發(fā)展出解析幾何，19世紀(jì)則反過來，將幾何演繹運(yùn)用于代數(shù)而產(chǎn)生抽象代數(shù)。抽象代數(shù)則充滿了演繹精神。19世紀(jì)開辟的新的演繹數(shù)學(xué)，在幾何領(lǐng)域本身也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了古希臘時(shí)代，對歐幾里得公理系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的掌握，導(dǎo)致了希爾伯特公理化方法.這種公理化方法，不僅嚴(yán)格了各個(gè)幾何分支的邏輯基礎(chǔ)，而且滲透到幾乎所有的純數(shù)學(xué)及某些物理的領(lǐng)域。

　　直到20世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)中演繹傾向有增無減，數(shù)學(xué)變成研究任意結(jié)構(gòu)的學(xué)問。抽象代數(shù)從局部性研究轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體性分析研究。布爾巴基學(xué)派用公理化的結(jié)構(gòu)主義觀點(diǎn)看待整個(gè)數(shù)學(xué)，認(rèn)為整個(gè)數(shù)學(xué)可以建立在不求助于直觀的徹底公理化基礎(chǔ)上。他們從集合論出發(fā)、對全部數(shù)學(xué)分支給以完備的公理化，而數(shù)學(xué)分支之間的區(qū)別僅在于結(jié)構(gòu)的不同，演繹精神不僅是衡量數(shù)學(xué)純不純的標(biāo)準(zhǔn)，而且成為衡量數(shù)學(xué)美不美的標(biāo)準(zhǔn)。但是，從電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，算法傾向又得到了加強(qiáng)，數(shù)學(xué)家開始用計(jì)算機(jī)來證明數(shù)學(xué)定理.如用電子計(jì)算機(jī)證明了著名的“四色猜想”定理，而許多初等幾何定理和初等微分幾何定理都可以實(shí)現(xiàn)機(jī)器證明。算法傾向又將逐漸占主導(dǎo)地位，綜上所述，整個(gè)數(shù)學(xué)史又可看成一部算法傾向與演繹傾向交替繁榮的歷史。

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