數(shù)論奧數(shù)專項分析
數(shù)論奧數(shù)專項分析1
1.在一位數(shù)的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的是幾?既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的是幾?既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的是幾?
2.在1~100里最小的質(zhì)數(shù)和最大的質(zhì)數(shù)的和是多少?
3.兩個自然數(shù)的和與差的積是41，那么這兩個數(shù)的積的多少?
4.把232323的全部質(zhì)因數(shù)的和表示為AB，那么A×B×AB=?
5.三個連續(xù)自然數(shù)的積是1716，這三個自然數(shù)是多少?
6.如果自然數(shù)有四個不同的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的自然數(shù)中最小的是多少?
7.某一個數(shù)，它與自己相加、相減、相乘、相除得到的和、差、積、商之和為256，這個數(shù)是多少?
8.主人對客人說：“院子里有三個小孩，他們的年齡之積等于72，年齡之和恰好是我家的樓號，你能求出這些孩子的年齡嗎?主人家的樓號是多少?
9.今有10個質(zhì)數(shù)：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103，如果將它們分成兩組，每組五個數(shù)，且每組的五個數(shù)之和相等，那么，把含有101的這組數(shù)從小到大排列，第二個數(shù)應是多少?
10.四個同樣的瓶子內(nèi)裝油，每瓶和其他各瓶稱一次，重量為：8，9，10，11，12，13已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù)，最重的兩瓶油內(nèi)有多少公斤油?
數(shù)論奧數(shù)專項分析2
5.能否將1至25這25個自然數(shù)分成若干組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和?
6.在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個學生進行比賽，每兩人都賽一局�，F(xiàn)知，其中有一位學生共得7分，另一位學生共得20分，試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。
7.在黑板上寫上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個或兩個以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個數(shù)a，b，并寫上a-b(其中a≥b)。問：最后黑板上剩下的.是奇數(shù)還是偶數(shù)?
8.設(shè)a1，a2，…，a64是自然數(shù)1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;
c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;
d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;
……
這樣一直做下去，最后得到的一個整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?
答案：
5.不能。提示：仿例3。
6.證：設(shè)得7分的學生勝了x1局，敗了y1局，得20分的學生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：
x1-y1=7，x2-y2=20。
如果比賽過程中無平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù)，由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù)，推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。
7.奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S=1+2+…+909是一個奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-(a-b)=2b，這是一個偶數(shù)，說明總和S的奇偶性不變。由于開始時S是奇數(shù)，因此終止時S仍是一個奇數(shù)。
8.偶數(shù)。
解：我們知道，對于整數(shù)a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數(shù)
a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，
分別與下列32個數(shù)
a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，
有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為
第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;
第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;
第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;
……
最后一步所得到的數(shù)是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數(shù)，故最后一個整數(shù)是偶數(shù)
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