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（優(yōu)秀）拋物線的基本知識(shí)點(diǎn)
在平日的學(xué)習(xí)中，是不是聽到知識(shí)點(diǎn)，就立刻清醒了？知識(shí)點(diǎn)在教育實(shí)踐中，是指對(duì)某一個(gè)知識(shí)的泛稱。還在為沒有系統(tǒng)的知識(shí)點(diǎn)而發(fā)愁嗎？以下是小編整理的拋物線的基本知識(shí)點(diǎn)，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
重點(diǎn)：熟練掌握拋物線的定義及四種不同的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，會(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究得出性質(zhì)，會(huì)由幾何性質(zhì)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 熟練運(yùn)用坐標(biāo)法，理解數(shù)形結(jié)合思想，掌握相關(guān)代數(shù)知識(shí)、平面幾何知識(shí)的運(yùn)用。
難點(diǎn)：把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，進(jìn)而把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”。 選擇合理、簡捷的運(yùn)算途徑，并實(shí)施正確的運(yùn)算。 靈活利用概念、平面幾何知識(shí)。
1. 拋物線及其性質(zhì)的基本思路
求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知方程的形式，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，一般用軌跡法；凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意運(yùn)用韋達(dá)定理；解決焦點(diǎn)弦問題，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)，針對(duì)y2=2px(p>0),設(shè)焦點(diǎn)弦為x=my+■,既方便消元，又可避免斜率不存在的情況；可能的情況下，注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，達(dá)到“不算而解”的目的。
2. 拋物線及其性質(zhì)的基本策略
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
�、俣x法：根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征，從而確定p的值，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
�、诖ㄏ禂�(shù)法：先定位，后定量。根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù)p的值，這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，從簡單化角度出發(fā)，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)為y2=ax(a≠0);焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)為x2=by(b≠0).
(2)焦點(diǎn)弦問題和焦半徑
①焦半徑：拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F■,0的距離PF=x0+■.
�、谕◤剑哼^焦點(diǎn)F■,0且與x軸垂直的弦PQ叫通徑，PQ=2p.
③焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：過F■,0的弦AB所在的直線方程為y=kx-■(k不存在時(shí)為通徑).
�、芟议L：AB=x1+x2+p=■(θ為弦AB的傾斜角);x1·x2=■,y1·y2= -p2;■+■=■;以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。
在拋物線y2=4x上找一點(diǎn)M,使MA+MF最小，其中A(3,2),F(1,0),求點(diǎn)M的坐標(biāo)及此時(shí)的最小值。
思索 “看準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,可根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化從而獲得簡捷、直觀的求解。 數(shù)形結(jié)合是靈活解題的一條捷徑。
破解：如圖1,點(diǎn)A在拋物線y2=4x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，MA+MF=MA+MH,其中MH為M到拋物線的準(zhǔn)線的距離，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1,垂足為B,則MA+MF=MA+MH≥AB=4,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在M1的位置時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(1,2).
斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長。
思索：求焦點(diǎn)弦的弦長有多種方法，既要掌握運(yùn)算方法，也要考慮一些不算或少算的方法。 數(shù)形結(jié)合是解析幾何中重要的思想方法之一。 一些問題中，充分發(fā)揮“形”的作用，可以最大限度地減少運(yùn)算，“看出結(jié)果”。 我們不妨考慮問題的一般情形：斜率為k(傾斜角為θ)的直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，如何“看出”焦點(diǎn)弦的弦長？
如圖2,由圖可以看出，F(xiàn)A=p-FAcosθ,FB=FBcosθ+p,所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解過程非常直觀，在已知直線傾斜角的情形下，可以直接“看出”焦點(diǎn)弦的弦長。 直線斜率存在時(shí)，由k=tanθ,破解 例2中，k=1(θ=45°),p=2,所以AB=8.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M,F,O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為■.
(1)求拋物線C的方程；
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。
思索 (1)由拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)形式可得點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，由圓心Q在弦OF的中垂線上可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離列出方程，確定p的值。
(2)存在性問題的常用方法是：先假設(shè)結(jié)論存在，進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，則否定假設(shè)；若推出合理的結(jié)果，說明假設(shè)成立。
思路1:先求切線MQ的方程，結(jié)合弦OF的中垂線方程解點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再由點(diǎn)Q在弦OM的中垂線上解題即可。
思路2:先由點(diǎn)Q在弦OF,OM的中垂線上，再結(jié)合切線QM斜率的不同形式表示，列出方程思考。
1. 立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ)
掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識(shí)和能力。
2. 熟練通法，步步過關(guān)
對(duì)相對(duì)固定的題型，如弦長問題、面積問題等，解題思路、步驟相對(duì)固定，要以課本為例，以習(xí)題為模型，淡化技巧，理解通性通法，熟練步驟，能作出合理的算法途徑設(shè)計(jì)，基本問題運(yùn)算過關(guān)，破解“想得出，算不出、算不對(duì)”的瓶頸。
3. 重視拋物線的綜合問題
重視拋物線與直線、圓等的綜合研究，尤其是對(duì)性質(zhì)中的一些定點(diǎn)、定值及相關(guān)結(jié)論的深入探究。高考試題往往有對(duì)圓錐曲線某方面幾何性質(zhì)的考慮，對(duì)性質(zhì)深入的探究不在于知道一些結(jié)論，而是在這一過程中掌握探索的方法，理解解析幾何的基本思想方法。
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