- 相關(guān)推薦
小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)教案：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性
對(duì)稱性：函數(shù)圖象存在的一種對(duì)稱關(guān)系，包括點(diǎn)對(duì)稱和線對(duì)稱。
周期性：設(shè)函數(shù) 的定義域是 ，若存在非零常數(shù) ，使得對(duì)任何 ，都有 且 ，則函數(shù) 為周期函數(shù)， 為 的一個(gè)周期。
對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢?本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有不足之處望大家批評(píng)指正。
一、一個(gè)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱。
命題1：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和點(diǎn) 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
即：
是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于兩點(diǎn) 和 對(duì)稱，那么：
當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
當(dāng) ， 時(shí)
即：
當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
當(dāng) ， 時(shí)
當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。
當(dāng) ， 時(shí)
(與條件矛盾，舍去)
綜合得原命題成立。
二、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于一個(gè)點(diǎn)和一條線對(duì)稱。
命題2：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
即：
即：
是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
即：
即：
是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。
三、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于兩條線對(duì)稱。
命題3：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)。
證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
即：
是以 為周期的周期函數(shù)。
【小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)教案：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性】相關(guān)文章：
關(guān)于《三角函數(shù)的周期性》的教案04-10
數(shù)學(xué)教案：對(duì)數(shù)函數(shù)教案05-13
高一數(shù)學(xué)教案《函數(shù)》07-10
數(shù)學(xué)教案:函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用05-16
高一數(shù)學(xué)教案《函數(shù)概念》06-04