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數(shù)學教案不等式證明參考
目的：以不等式的等價命題為依據(jù)，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。
過程：
一、復習：
1．不等式的一個等價命題
2．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論
二、作差法：（P13—14）
1． 求證：x2 + 3 > 3x
證：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：
證：
∵a,b,m都是正數(shù)，并且a 0 , b - a > 0
∴ 即：
變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？
3． 已知a, b都是正數(shù)，并且a b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)
= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正數(shù)，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4． 甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？
解：設從出發(fā)地到指定地點的路程為S，
甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2，
則： 可得：
∴
∵S, m, n都是正數(shù)，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
從而：甲先到到達指定地點。
變式：若m = n，結果會怎樣？
三、作商法
5． 設a, b R+，求證：
證：作商：
當a = b時，
當a > b > 0時，
當b > a > 0時，
∴ （其余部分布置作業(yè)）
作商法步驟與作差法同，不過最后是與1比較。
四、小結：作差、作商
五、作業(yè)： P15 練習
P18 習題6.3 1—4
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