2017年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(文)期中試題

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　　第Ⅰ卷 ( 共60分)

　　一、選擇題(本大題有12小題，每小題5分，共60分，請從A，B，C ，D四個選項(xiàng)中，選出一個符合題意的正確選項(xiàng)，填入答題卷，不選，多選，錯選均得零分.)

　　1.拋物線 的焦點(diǎn)坐 標(biāo)是( )

　　A. B. C. D.

　　2.命題“若 ，則 都為零”的否命題是( )

　　A.若 ，則 都不為零 B.若 ，則 不都為零

　　C.若 都不為零，則 D.若 不都為零，則

　　3.曲線 在 處的切線的傾斜角為( )

　　A. B. C. D.

　　4.已知 的圖象如右所示，則 的一個可能圖象是( )

　　A. B. C. D.

　　5.橢圓 的一個頂點(diǎn)在拋物線 的準(zhǔn)線上，則橢圓的離心率( )

　　A. B. C .4 D.

　　6.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是( )

　　A. B. C. D.

　　7.一動圓 與圓 外切，而與圓 內(nèi)切，那么動圓的圓心 的軌跡是( )

　　A.橢圓 B.雙曲線 C.橢圓或雙曲線一支 D.拋物線

　　8. 已知函數(shù) 在R上可導(dǎo)，且 ，則 的值為( )

　　A. B. C. D.

　　9.曲線 與曲線 的( )

　　A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等

　　10.設(shè)雙曲線 的一條漸近線與拋物線 只有一個公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為( ).

　　A. B. 5 C. D.

　　11.已知命題 ：函數(shù) 在R為增函數(shù)， :函數(shù) 在 為減函數(shù).則命題 ; ; ; 中真命題的個數(shù)為( )

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　12.有一凸透鏡其剖面圖(如圖)是由橢圓 和雙曲線 的實(shí)線部分組成，已知兩曲線有共同焦點(diǎn)M、N;A、B分別在左右兩部分實(shí)線上運(yùn)動，則 周長的最小值為: ( )

　　A. B.

　　C. D.

　　二、填空題(本大題有4小題，每小題5分，共20分，請將答案寫在答題卷上)

　　13.雙曲線 的漸近線方程為___________.

　　14.若函數(shù) 在 處有極小值，則實(shí)數(shù) 等于_________.

　　15.已知命題 :“ ”, 命題 ：“ ”,

　　若命題“ ”為假命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .

　　16. 綜合應(yīng)用拋物線和雙曲 線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡.這種 望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡筒可以很短而觀察天體運(yùn)動又很清楚，例如，某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖(中心截口示意圖)所示，其中，一個反射鏡 弧所在的曲 線為拋物線，另一個反射鏡 弧所在的曲線為雙曲線的一個分支，已知 、 是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，其中 同時又是拋物線的焦點(diǎn)， 也是雙曲線的左頂點(diǎn).若在如圖所示的坐標(biāo)系下， 弧所在的曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，試根據(jù)圖示尺寸(單位：cm)，寫出反射鏡 弧所在的拋物線方程為_________.

　　三、解答題(本大題有6小題，共70分，請將解答過程寫在答題卷上

　　17.(本小題滿分10分)已知命題 ：實(shí)數(shù) 滿足 ，

　　：實(shí)數(shù) 滿足

　　(1)若 為真命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

　　(2)若 是 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

　　18.(本小題滿分12分)已知 ，

　　(1)寫出 的定義域. (2)求 的單調(diào)區(qū)間.

　　19. (本小題滿分12分) 設(shè)命題 ， . 命題 ， . 如果命題“ ∨ ”為真命題，“ ∧ ”為假命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

　　20. (本小題滿分12分)已知橢圓 的左，右焦點(diǎn) 、 .若以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓長軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作一雙曲線恰為等軸雙曲線.

　　(1)求橢圓的離心率;

　　(2)設(shè)L為過橢圓右焦點(diǎn) 的直線，交橢圓于 、 兩點(diǎn)，當(dāng) 周長為 時;

　　求 面積的最大值.

　　21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)

　　(1)求函數(shù) 的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn);

　　(2)若 恰好有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 取值范圍.

　　22. (本題滿分12分) 已知:拋物線m 焦點(diǎn)為 ，以 為圓心的圓 過原點(diǎn) ，過 引斜率為 的直線與拋物線 和圓 從上至下順次交于A、B、C、D.若 .

　　(1) 求拋物線方程.

　　(2)當(dāng)為 何值時, 、 、 的面積成等差數(shù)列;

　　(3)設(shè)M為拋物線上任一點(diǎn)，過M點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H.在圓 上是否存在點(diǎn)N，使 的最大值，若存在，求出 的最大值;若不存在，說明理由.

　　　　數(shù)學(xué)(文)參考答案

　　一、選擇題 DBCDB CCDCA BA

　　12.

　　當(dāng)且僅當(dāng)M、A、B共線時， 周長的最小

　　二、填空題(每小題5分，共20分)

　　13. 14.1 15. 16.

　　16.解：由題意知：連接 的直線為 軸，線段 的中點(diǎn)為原點(diǎn).

　　對于拋物線，有 ,所以， .

　　因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為 因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是 .

　　所以，所 求拋物線的方程為 .

　　三、解答題

　　17.解：(1)

　　或

　　或 (5分)

　　(2) 是 的充分不必 要條件 是 的充分不必要條件

　　化簡 ， 設(shè)

　　則 且 (10分)

　　18. 解: (1) 的定義域?yàn)?. (3分)

　　(2) ，得 ，(5分)

　�、佼�(dāng) 時，在 上 ;在 上

　　的遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為 (9分)

　　②當(dāng) 時，在 上 ;在 上

　　的遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為 (12分)

　　19.解:設(shè) ，得 ，

　　2

　　有最大值 ;最小值 (6分)

　　則命題 成立得 ;命題 成立得

　　由命題“ ∨ ”為真命題，“ ∧ ”為假命題。則 一真一假

　　若 真 假，則 ;若 真 假，則

　　所以，實(shí)數(shù) 的取值范圍為 (12分)

　　20.(1)由題意雙曲線為 為等軸雙曲線

　　則 ，得橢圓的離心率為 (4分)

　　(2) 周長為 8,可得：橢圓為： , (6分)

　　設(shè)PQ為 代入橢圓得 (8分)

　　(10分)

　　令 ;則 .(顯然當(dāng) 即 時最大)(12分)

　　法二:由對稱性,不妨設(shè)PQ的傾斜角為 . ,

　　周長為 8,可得：橢圓為： ,

　　設(shè)PQ為 其中 代入橢圓得

　　又焦點(diǎn)弦

　　，顯然 時取最大.

　　法三: 周長為 8,可得：橢圓為： ,

　　由對稱性,不妨設(shè)PQ的傾斜角為 . ,

　　又 (其中 )

　　21.解:(1) 得 ;

　　在 和 上為增函數(shù);在 上為減函數(shù)

　　(也可由 的圖像得單調(diào)性)

　　函數(shù) 的極大值點(diǎn)為 ，極小值點(diǎn)為 (6分)

　　(2)若 恰好有三個零點(diǎn)，則 又 得 (12分)

　　22.解:(1)由題 意 , ;直線AD為

　　;

　　聯(lián)立 得

　　由違達(dá)定理得 ∴

　　∴拋物線方程 ……5分

　　(2) 由 、 、 的面積成等差數(shù)列

　　得 (即弦長 )

　　∴ ∴ ……9分

　　(或 )

　　(3)由定義

　　∴存在 點(diǎn)N，使 的取得最大值為4 ……12分

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