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等邊三角形中考數(shù)學(xué)題匯總
大家對(duì)等邊三角形在中考中考試難度有了解嗎?下面百分網(wǎng)小編幫大家整理了等邊三角形的中考數(shù)學(xué)題匯總，希望能對(duì)大家有幫助，更多內(nèi)容歡迎關(guān)注應(yīng)屆畢業(yè)生網(wǎng)!
(2013• 德州)如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：
�、貱E=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+ .
其中正確的序號(hào)是�、佗冖堋�(把你認(rèn)為正確的都填上).
考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
分析： 根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤;根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤;根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤.
解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①說(shuō)法正確;
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說(shuō)法正確;
如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說(shuō)法錯(cuò)誤;
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
在Rt△ADF中，
a2+(a﹣ )2=4，
解得a= ，
則a2=2+ ，
S正方形ABCD=2+ ，
�、苷f(shuō)法正確，
故答案為①②④.
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩.
(2013•黃岡)已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE= .
考點(diǎn)： 等邊三角形的性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).3481324
分析： 根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可.
解答： 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD為中線，
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中線，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD= = ，
即DE=BD= ，
故答案為： .
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長(zhǎng).
(2013•黔西南州)如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E= 15 度.
考點(diǎn)： 等邊三角形的性質(zhì);三角形的外角性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
分析： 根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù).
解答： 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°.
故答案為：15.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中.
(2013年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于 軸，一頂點(diǎn)在 軸上.從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為 ，頂點(diǎn)依次用 表示，其中 與 軸、底邊 與 、 與 、 均相距一個(gè)單位，則頂點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ， 的坐標(biāo)是 .
解析：考查正三角形的相關(guān)知識(shí)及找規(guī)律的能力。由圖知， 的縱坐標(biāo)為：
， ，而 的橫坐標(biāo)為： ，由題意知， 的縱坐標(biāo)為 ， ，容易發(fā)現(xiàn) 、 、 、 、 、 這些點(diǎn)在第四象限，橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)， 、 、 、 、 、 的下標(biāo)2、5、7、 、92、 有規(guī)律： ， 是第31個(gè)正三角形(從里往外)的右端點(diǎn)，
(2013福省福州19)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，0)，等邊三角形AOC經(jīng)過(guò)平移或軸對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個(gè)單位長(zhǎng)度;△AOC與△BOD關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是 ;△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是 度;
(2)連結(jié)AD，交OC于點(diǎn)E，求∠AEO的度數(shù).
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì);平移的性質(zhì).
專(zhuān)題：計(jì)算題.
分析：(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，0)，根據(jù)平移的性質(zhì)得到△AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以O(shè)E為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°.
解答：解：(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2，0)，
∴△AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到△OBD;
∴△AOC與△BOD關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB.
(2)如圖，∵等邊△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°.
故答案為2;y軸;120.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及平移的性質(zhì).
(2013•湖州)如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB.
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)求證：PB是⊙O的切線.
考點(diǎn)： 切線的判定;等邊三角形的判定與性質(zhì);垂徑定理.
分析： (1)首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長(zhǎng);
(2)由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線.
解答： (1)解：連接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，
∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC=OC=2;
(2)證明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
(2013•萊蕪)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE.
(1)證明DE∥CB;
(2)探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形.
考點(diǎn)： 平行四邊形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
分析： (1)首先連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE=AB=AE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進(jìn)而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB;
(2)當(dāng)AC= 或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形.若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進(jìn)而得到∠B=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可推出AC= 或AB=2AC.
解答： (1)證明：連結(jié)CE.
∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CE=AB=AE.
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD.
在△ADE與△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE(SSS)，
∴∠ADE=∠CDE=30°.
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°.
∴DE∥CB.
(2)解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°.
∴∠B=30°.
在Rt△ACB中，sinB= ，sin30°= ，AC= 或AB=2AC.
∴當(dāng)AC= 或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì).
20、(2013•衢州)【提出問(wèn)題】
(1)如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN.求證：∠ABC=∠ACN.
【類(lèi)比探究】
(2)如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)C)，其它條件不變，(1)中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【拓展延伸】
(3)如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC.連結(jié)CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
分析： (1)利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論;
(2)也可以通過(guò)證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和(1)的思路完全一樣.
(3)首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到 = ，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論.
解答： (1)證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴∠ABC=∠ACN.
(2)解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立.
理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴∠ABC=∠ACN.
(3)解：∠ABC=∠ACN.
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴ = ，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等(相似)的條件，利用全等(相似)的性質(zhì)證明結(jié)論.
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