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考研數(shù)學(xué)高數(shù)中值定理的詳解
我們在準(zhǔn)備考研數(shù)學(xué)高數(shù)的復(fù)習(xí)手，面對中值定理，我們應(yīng)該掌握好它的學(xué)習(xí)方法。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)高數(shù)中值定理的解析，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)高數(shù)中值定理的詳解
中值定理的相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)中公認(rèn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，往年這部分的�？甲C明題這種大題。然而最近兩年沒考這一部分大題。2014年的高數(shù)證明題考的函數(shù)不等式的證明，而2015出乎意料地考了一個(gè)用導(dǎo)數(shù)定義證明求導(dǎo)公式的證明題。雖然這兩年沒有考這部分的大題，但作為以前�？即箢}的考點(diǎn)，所以我們不能對這部分內(nèi)容掉以輕心。
首先對于中值定理我們應(yīng)該把這部分的定理內(nèi)容弄清楚。我們要用這些定理去證明別的結(jié)論，先要自己把這些內(nèi)容弄透、弄熟。具體來說，關(guān)于這部分涉及的定理有：費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點(diǎn)存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個(gè)定理屬于微分中值定理的部分，中間三個(gè)定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，最后一個(gè)為積分相關(guān)定理。而這里，除了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這幾個(gè)定理外，其余定理是要求我們會(huì)證明的。
其次，我們在現(xiàn)階段應(yīng)總結(jié)真題中考過的此類題目的處理思路。這部分工作可以自己完成，但可能需要花費(fèi)一些時(shí)間。
中值相關(guān)證明大部分情況下應(yīng)從結(jié)論出發(fā)�？佳兄兴蟮年P(guān)于中值定理這塊的證明百分之六十到七十都是要去用羅爾定理來證明的。在做此類證明時(shí)，我們要看所要證明的式子是含一個(gè)中值還是兩個(gè)中值，緊接著要看所要求的中值是屬于開區(qū)間還是閉區(qū)間的。如果是在含有一個(gè)中值的前提下，再看是否含有導(dǎo)數(shù)。若是含一個(gè)中值，且這個(gè)中值時(shí)屬于開區(qū)間的，并且有含有導(dǎo)數(shù)，這時(shí)我們往往要考研羅爾定理。在確定用羅爾定理的前提下，緊接著我們就是構(gòu)造輔助函數(shù)并且找兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等，當(dāng)然這里我們在找兩個(gè)相等點(diǎn)時(shí)，不一定要求是找區(qū)間的端點(diǎn)，也有可能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)。如果含有一個(gè)中值，中值所屬于的區(qū)間是開區(qū)間或者是閉區(qū)間，并且不含有導(dǎo)數(shù)，那考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在第一章閉區(qū)間上連續(xù)里我們有兩個(gè)常用的定理--零點(diǎn)定理和介值定理。如果區(qū)間是開區(qū)間則選擇零點(diǎn)定理，如果區(qū)間是閉區(qū)間則選擇介值定理來證明。
說到這里，一個(gè)中值的情況我們就分析完了。下面我們主要談?wù)勅绾慰紤]兩個(gè)中值的情況。如果需要證明的式子中含有兩個(gè)中值，這個(gè)時(shí)候我們要考慮需要用幾次定理來證明。我們知道用一次定理得到的式子只含有一個(gè)中值，即使是比較麻煩的柯西中值定理也是這樣。因此，若是要出現(xiàn)兩個(gè)中值，那一定是用了兩次中值定理。當(dāng)然，我們在用兩次定理后，這時(shí)一定會(huì)得到兩個(gè)式子，而最終所得到的式子含兩個(gè)中值應(yīng)該為前面我們所得到的兩個(gè)式子合并后的結(jié)果。根據(jù)歷年真題的詳細(xì)解讀，含有兩個(gè)中值的情況一般我們會(huì)考慮用兩次拉格朗日中值定理或一次拉格朗日中值定理和一次柯西定理。具體怎么用這個(gè)兩個(gè)定理，以及如何選擇輔助函數(shù)，我們一般可以通過所要證明的式子來確定。
如果所要證明的式子有三個(gè)中值，這種情況和上面兩個(gè)中值的情況是類似的。一般情況下，如果三個(gè)中值要求是不同點(diǎn)，則一般分區(qū)間，我們可以考慮利用三次拉格朗日中值定理來處理。
因此，對于這一塊的有關(guān)中值定理的內(nèi)容，要從中值出發(fā)，找相關(guān)的特質(zhì)點(diǎn)，來確定所用是哪一個(gè)中值定理，到底用一次還是用兩次。又或者兩個(gè)結(jié)合起來用，又或者用三次中值定理來解決。無論怎樣，把基本定理整明白，理清我們上面分析真題的思路和方法。當(dāng)然有上述這些情況的分析，并不是就可以解決掉所有有關(guān)這方面的題目了，畢竟是真題，它其中的變形是多樣的，因此，在我們有了上述大題分析題目的思路情況下，還需要把各個(gè)細(xì)節(jié)給打通。所以當(dāng)我們確定用羅爾定理了，緊接著要考慮的就是輔助函數(shù)的構(gòu)造，以及要找函數(shù)值相等的點(diǎn)。又或者當(dāng)我們確定用拉格朗日中值定理或柯西中值定理時(shí)，也需要我們考慮有關(guān)輔助函數(shù)的構(gòu)造。因此，如何選擇中值定理，如何考慮輔助函數(shù)的構(gòu)造是需要我們仔細(xì)琢磨，慢慢精通的。
考研數(shù)學(xué)高數(shù)7大中值定理詳解
七大定理的歸屬。
零點(diǎn)定理與介值定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。三大中值定理與泰勒定理同屬于微分中值定理，并且所包含的內(nèi)容遞進(jìn)。積分中值定理屬于積分范疇，但其實(shí)也是微分中值定理的推廣。
對使用每個(gè)定理的體會(huì)
學(xué)生在看到題目時(shí)，往往會(huì)知道使用某個(gè)中值定理，因?yàn)檫@些問題有個(gè)很明顯的特征—含有某個(gè)中值。關(guān)鍵在于是對哪個(gè)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上使用哪個(gè)中值定理。
1、使用零點(diǎn)定理問題的基本格式是“證明方程f(x)=0在a,b之間有一個(gè)(或者只有一個(gè))根”。從題目中我們一目了然，應(yīng)當(dāng)是對函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)使用零點(diǎn)定理。應(yīng)當(dāng)注意的是零點(diǎn)定理只能說明零點(diǎn)在某個(gè)開區(qū)間內(nèi)，當(dāng)要求說明根在某個(gè)閉區(qū)間或者半開半閉區(qū)間內(nèi)時(shí)，需要對這些端點(diǎn)做例外說明。
2、介值定理問題可以化為零點(diǎn)定理問題，也可以直接說明，如“證明在(a,b)內(nèi)存在ξ，使得f(ξ)=c”，僅需要說明函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，以及c位于f(x)在區(qū)間[a,b]的值域內(nèi)。
3、用微分中值定理說明的問題中，有兩個(gè)主要特征：含有某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(甚至是高階導(dǎo)數(shù))、含有中值(也可能有多個(gè)中值)。應(yīng)用微分中值定理主要難點(diǎn)在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。在微分中值定理證明問題時(shí)，需要注意下面幾點(diǎn)：
(1)當(dāng)問題的結(jié)論中出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，肯定是對某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理;
(2)當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，使用柯西中值定理，此時(shí)找到函數(shù)是最主要的;
(3)當(dāng)出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常歸結(jié)為兩種方法，對低一階的導(dǎo)函數(shù)使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說明;
(4)當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)中值點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)使用多次中值定理，在更多情況下，由于要求中值點(diǎn)不一樣，需要注意區(qū)間的選擇，兩次使用中值定理的區(qū)間應(yīng)當(dāng)不同;
(5)使用微分中值定理的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)，如何選擇區(qū)間。對此我的體會(huì)是應(yīng)當(dāng)從需要證明的結(jié)論入手，對結(jié)論進(jìn)行分析。我們總感覺證明題無從下手，我認(rèn)為證明題其實(shí)不難，因?yàn)樽C明題的結(jié)論其實(shí)是對你的提示，只要從證明結(jié)論入手，逐步分析，必然會(huì)找到證明方法。
4、積分中值定理其實(shí)是微分中值定理的推廣，對變上限函數(shù)使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式，并且?guī)в兄兄档淖C明題時(shí)，一定是對某個(gè)變上限積分在某點(diǎn)處展開為泰勒展開式或者直接使用積分中值定理。當(dāng)證明結(jié)論中僅有積分與被積函數(shù)本身時(shí)，一般使用積分中值定理;當(dāng)結(jié)論中有積分與被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般需要展開變上限積分為泰勒展開式。
考研數(shù)學(xué)概率部分復(fù)習(xí)的4個(gè)突破口
在文字?jǐn)⑹鲱}上下功夫
考生一方面多做些題目，尤其是文字?jǐn)⑹龅念}目，逐漸提高自己分析問題的能力。另一方面花點(diǎn)時(shí)間準(zhǔn)確理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的基本概念�？忌趶�(fù)習(xí)過程中可以結(jié)合一些實(shí)際問題理解概念和公式，也可以通過做一些文字?jǐn)⑹鲱}鞏固概念和公式。只要針對每一個(gè)基本概念準(zhǔn)確的理解，公式理解的準(zhǔn)確到位，并且多做些相關(guān)題目，再遇到考卷中碰到類似題目時(shí)就一定能夠輕易讀懂和正確解答。
會(huì)用公式解題
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的公式不僅要記住，而且要會(huì)用，要會(huì)用這些公式分析實(shí)際中的問題。我在這里推薦一個(gè)記憶公式的方法，就是結(jié)合實(shí)際的例子和模型記憶。比如二向概率公式，你可以用這樣一個(gè)模型記憶，把一枚硬幣重復(fù)拋N次，正面朝上的概率是多少呢?這樣才是在理解基礎(chǔ)上的記憶，記憶的東西既不容易忘，又能夠正確運(yùn)用到題目的解決中。
對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的考點(diǎn)整體把握
考研中，概率論的重點(diǎn)考查對象在于隨機(jī)變量及其分布和隨機(jī)變量的數(shù)字特征。所以對于第一條中所講的古典概型與幾何概型這部分，只要掌握一些簡單的概率計(jì)算就可，把大量精力放在隨機(jī)變量的分布上。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的考查重點(diǎn)在于與抽樣分布相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量的分布及其數(shù)字特征。
心理上要重視
考研數(shù)學(xué)試題中有關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的題目對大多數(shù)考生來說有一定難度，這就使得很多考完試的同學(xué)感慨萬千，概率題太難了!同時(shí)也為學(xué)弟學(xué)妹們傳達(dá)了概率題目難的信息。所以同學(xué)們在復(fù)習(xí)之前就已經(jīng)有了先入為主的看法：概率比較難!
但同學(xué)們沒有注意到，在自己復(fù)習(xí)之初做得準(zhǔn)備都是關(guān)于高等數(shù)學(xué)(微積分)的，在概率上的時(shí)間本身就不足。而且如果你的潛意識中覺得一件事情難的話，那么那件事情對你來說就真的很難。我一直認(rèn)為，人的潛力是非常巨大的。這也與“有多少想法，就有多大成就”的說法相合。
如果你相信自己，那么概率復(fù)習(xí)起來是簡單的，考試中有關(guān)概率的題目也是容易的，數(shù)學(xué)滿分不是沒有可能的。那么，從現(xiàn)在開始，在心理上告訴自己：概率并不難!
在認(rèn)真熟悉教材上的原理與概念，深刻了解基本概念、基本性質(zhì)。在同學(xué)們以后的復(fù)習(xí)過程中注意以下幾個(gè)問題，通過做題來檢驗(yàn)自己的復(fù)習(xí)程度。
概念不清，只會(huì)背不會(huì)運(yùn)用;不能正確地選擇概率公式去證明和計(jì)算;不能熟練地應(yīng)用有關(guān)的定義、公式和性質(zhì)進(jìn)行綜合分析、運(yùn)算和證明。
分析有誤，概率模型搞錯(cuò)。
考研數(shù)一數(shù)二數(shù)三區(qū)別
一、區(qū)別
數(shù)學(xué)分為三類，最大的區(qū)別在于知識面的要求上：數(shù)學(xué)一最廣，數(shù)學(xué)三其次，數(shù)學(xué)二最低。這個(gè)差異體現(xiàn)在細(xì)節(jié)上，就成了數(shù)學(xué)一、二、三在考試內(nèi)容和適用專業(yè)上的不同之處。
數(shù)學(xué)一：針對對數(shù)學(xué)要求較高的理工類
(1)考試內(nèi)容：
a.高等數(shù)學(xué)(函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)的微積分學(xué)、無窮級數(shù)、常微分方程);
b.線性代數(shù)(行列式、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量、二次型);
c.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(隨機(jī)事件和概率、隨機(jī)變量及其概率分布、二維隨機(jī)變量及其概率分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn))。
(2)適用專業(yè)：
a.工學(xué)門類的力學(xué)，機(jī)械工程，光學(xué)工程，儀器學(xué)與技術(shù)，冶金工程，動(dòng)力學(xué)工程及工程物理，電氣工程，電子科學(xué)與技術(shù)，信息與通信工程，控制科學(xué)與工程，計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)，土木工程，水利工程，測繪科學(xué)與技術(shù)，交通運(yùn)輸工程，船舶與海洋工程，航空宇航科學(xué)與技術(shù)，兵器科學(xué)與技術(shù)，核科學(xué)與技術(shù)，生物醫(yī)學(xué)工程等一級學(xué)科中所有的二級學(xué)科，專業(yè)。
b.工學(xué)門類的材料與工程，化學(xué)工程與技術(shù)，地質(zhì)資源與地質(zhì)工程，礦業(yè)工程，石油與天然氣工程，環(huán)境科學(xué)與工程等一級學(xué)科中對數(shù)學(xué)要求較高的二級學(xué)科，專業(yè)。
c.管理學(xué)門類中的管理科學(xué)與工程一級學(xué)科。
數(shù)學(xué)二：針對對數(shù)學(xué)要求低一些的農(nóng)、林、地、礦、油等專業(yè)
(1)考試內(nèi)容：
a.高等數(shù)學(xué)(函數(shù)、極限、一元函數(shù)微積分學(xué)、常微分方程);
b.線性代數(shù)(行列陣、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量)。
(2)適用專業(yè)：工學(xué)門類的紡織科學(xué)與工程、輕工技術(shù)與工程、農(nóng)業(yè)工程、林業(yè)工程、食品科學(xué)與工程第一級學(xué)科中所有的二級學(xué)科、專業(yè)。
數(shù)學(xué)三：針對管理、經(jīng)濟(jì)等方向
(1)考試內(nèi)容：
a.微積分(函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)、常微分方程與差分方程);
b.線性代數(shù)(行列式、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量、二次型);
c.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(隨機(jī)事件和概率、隨機(jī)變量及其概率分布、二維隨機(jī)變量及其概率分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn))。
(2)適用專業(yè)：
a.經(jīng)濟(jì)學(xué)門類的理論經(jīng)濟(jì)學(xué)一級學(xué)科中的所有二級學(xué)科、專業(yè);
b.經(jīng)濟(jì)學(xué)門類的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)一級學(xué)科中的統(tǒng)計(jì)學(xué)科、專業(yè)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、國民經(jīng)濟(jì)學(xué)、區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)、財(cái)政學(xué)(含稅收學(xué))、金融學(xué)(含保險(xiǎn)學(xué))、產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)、財(cái)政學(xué)(含稅收學(xué))、金融學(xué)(含保險(xiǎn)學(xué))、產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)、國際貿(mào)易學(xué)、勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)、國防經(jīng)濟(jì)。
c.管理學(xué)門類的工程管理一級學(xué)科中的二級學(xué)科、專業(yè);企業(yè)管理(含財(cái)務(wù)管理、市場營銷、人力資源管理)、技術(shù)經(jīng)濟(jì)及管理、會(huì)計(jì)學(xué)、旅游管理。
d.管理學(xué)門類的農(nóng)林經(jīng)濟(jì)管理一級學(xué)科中的所有二級學(xué)科、專業(yè)。
二、難度系數(shù)
數(shù)一考得比較全面，高數(shù)，線代，概論都考，而且題目偏難。數(shù)二不考概論，而且題目較數(shù)一容易。數(shù)三考得也很全面，題目的難度不比數(shù)一簡單多少。
有些人認(rèn)為數(shù)一比數(shù)三難很多，其實(shí)不然，注重的領(lǐng)域不同，所以難度無法進(jìn)行比較。數(shù)一題目涉及范圍廣，而且有時(shí)需要形象思維，難度也不低。數(shù)三雖然大綱內(nèi)容比數(shù)一少，但題目精，難度不是想象中的那么簡單。
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