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考研數(shù)學(xué)矩陣的特征值與特征向量講解
我們?cè)谶M(jìn)行考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)時(shí)，需要把矩陣的特征值與特征向量的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)好。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)矩陣的特征值和特征向量分析，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)矩陣的特征值和特征向量解析
矩陣的特征值與特征向量的定義：
設(shè)為階矩陣，若存在常數(shù)和向量，使得，則稱為矩陣的特征值，稱為矩陣的屬于特征值的特征向量。
求特征值與特征向量的常用思路：
1.根據(jù)定義求特征值和特征向量。
2.當(dāng)已給出矩陣，通過求出特征值，然后通過求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，求出矩陣的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量。
3.利用關(guān)聯(lián)矩陣的特征值之間的關(guān)系求特征值，如互逆矩陣的特征值互為倒數(shù);相似矩陣的特征值相同;和有相同的特征值等。并利用關(guān)聯(lián)矩陣特征向量之間的關(guān)系求矩陣的屬于特征值的特征向量，如當(dāng)可逆時(shí)，與對(duì)應(yīng)的特征值的特征向量相同等。
一般矩陣與實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：
1.階矩陣的所有特征值之和等于矩陣的跡，階矩陣的所有特征值之積等于矩陣的行列式。
2.設(shè)為階矩陣的特征值，若為矩陣的屬于特征值的特征向量，則也是矩陣的屬于特征值的特征向量。
3.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。
4.矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交。
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)技巧
當(dāng)然，把握數(shù)學(xué)高分的前提必須要熟知數(shù)學(xué)考查內(nèi)容和具體考些什么。數(shù)學(xué)主要是考基礎(chǔ)，包括基本概念、基本理論、基本運(yùn)算，數(shù)學(xué)本來就是一門基礎(chǔ)的學(xué)科，如果基礎(chǔ)、概念、基本運(yùn)算不太清楚，運(yùn)算不太熟練那你肯定是考不好的。高數(shù)的基礎(chǔ)應(yīng)著重放在極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分這三方面，后面當(dāng)然還有定積分、一元微積分的應(yīng)用，還有中值定理、多元函數(shù)、微分、線面積分等內(nèi)容，這些內(nèi)容可以看成那三部分內(nèi)容的聯(lián)系和應(yīng)用。另一部分考查的是簡(jiǎn)單的分析綜合能力。因?yàn)楝F(xiàn)在高數(shù)中的一些考題很少有單純考一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的，一般都是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合。最后就是數(shù)學(xué)的解應(yīng)用題能力。解應(yīng)用題要求的知識(shí)面比較廣，包括數(shù)學(xué)的知識(shí)比較要扎實(shí)，還有幾何、物理、化學(xué)、力學(xué)等知識(shí)。如果能夠圍繞著這幾個(gè)方面進(jìn)行有針對(duì)性地復(fù)習(xí)，取得高分也就不再是難事了。
與此同時(shí)，在具體的復(fù)習(xí)過程中如何規(guī)劃復(fù)習(xí)才能取得事半功倍的效果也是考試普遍關(guān)注的問題。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要保證熟練度，平時(shí)應(yīng)該多訓(xùn)練，一天至少保證三個(gè)小時(shí)。把一些基本概念、定理、公式復(fù)習(xí)好，牢牢地記住。同時(shí)數(shù)學(xué)還是一種基本技能的訓(xùn)練，要天天聯(lián)系，熟悉，技能才會(huì)更熟能生巧，更能夠靈活運(yùn)用，如果長時(shí)間不練習(xí)，就會(huì)對(duì)解題思路生疏，所以經(jīng)常練習(xí)是很重要的，天天做、天天看，一直堅(jiān)持到最后。這樣，基礎(chǔ)和思路才會(huì)久久在大腦中成型，遇到題目不會(huì)生疏，解題速度也就相應(yīng)越來越熟練，越來越快。
如果已經(jīng)開始高數(shù)初級(jí)階段的復(fù)習(xí)，那么在之后的更加細(xì)密的復(fù)習(xí)過程中同樣需要注意些問題。首先要明確考試重點(diǎn)，充分把握重點(diǎn)。比如高數(shù)第一章的不定式的極限，我們要充分掌握求不定式極限的各種方法，比如利用極限的四則運(yùn)算、利用洛必達(dá)法則等等，另外兩個(gè)重要的極限也是重點(diǎn)內(nèi)容;對(duì)函數(shù)的連續(xù)性的探討也是考試的重點(diǎn)，這要求我們需要充分理解函數(shù)連續(xù)的定義和掌握判斷連續(xù)性的方法。
其次，對(duì)于導(dǎo)數(shù)和微分，其實(shí)重點(diǎn)不是給一個(gè)函數(shù)考導(dǎo)數(shù)，而重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的定義，也就是抽象函數(shù)的可導(dǎo)性。對(duì)于積分部分，定積分、分段函數(shù)的積分、帶絕對(duì)值的函數(shù)的積分等各種積分的求法都是重要的題型，總而言之看上不好處理的函數(shù)的積分常常是考試的重點(diǎn)。而且求積分的過程中，一定要注意積分的對(duì)稱性，我們要利用分段積分去掉絕對(duì)值把積分求出來。還有中值定理這個(gè)地方一般每年都要考一個(gè)題的，多看看以往考試題型，研究一下考試規(guī)律。對(duì)于多維函數(shù)的微積分部分里，多維隱函數(shù)的求導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等是考試的重點(diǎn)。二重積分的計(jì)算，當(dāng)然數(shù)學(xué)一里面還包括了三重積分，這里面每年都要考一個(gè)題目。另外曲線和曲面積分，這也是必考的重點(diǎn)內(nèi)容。一階微分方程，還有無窮級(jí)數(shù)，無窮級(jí)數(shù)的求和等。充分把握住這些重點(diǎn)，同學(xué)們?cè)谝院蟮膹?fù)習(xí)強(qiáng)化階段就應(yīng)該多研究歷年真題，這樣做也能更好地了解命題思路和難易度，從而使整個(gè)復(fù)習(xí)規(guī)劃有條不紊。
扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)，合理的自我規(guī)劃和練習(xí)，逐步解決高數(shù)的重難知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也對(duì)出題者命題思路有了一定的了解，如此，考研學(xué)子們定能在自己的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)領(lǐng)域看到豐碩的果實(shí)，相信最美好的結(jié)果來自堅(jiān)定的自我努力。
考研數(shù)學(xué)備考初級(jí)階段的禁忌
一、復(fù)習(xí)初期，禁止“眼高、手高“不下手
復(fù)習(xí)初期，大部分考生的心情還比較浮躁，特別是有部分程度較好的考生，認(rèn)為這些內(nèi)容已經(jīng)學(xué)過了，并且當(dāng)時(shí)學(xué)得很好，期末考了很不錯(cuò)的分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在只把教材上的內(nèi)容掃一遍就可以了，復(fù)習(xí)時(shí)不夠認(rèn)真，只是看書而疏于動(dòng)手練習(xí)。持續(xù)一兩個(gè)月之后，這樣的考生就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己經(jīng)常遇到這樣一種狀況：拿到題目后自己做，沒有思路;看過答案之后，一步一步又好像全都明白，再做，還是無從下手。這正是眼高手低的典型表現(xiàn)。
“眼高手低”是很多考生在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)易犯的錯(cuò)誤，很多考生對(duì)基礎(chǔ)性的東西不屑一顧，認(rèn)為這些內(nèi)容很簡(jiǎn)單，用不著下勁復(fù)習(xí)，還有的考生只是“看”，認(rèn)為看懂就行了，很少下筆去做題，結(jié)果在最后的考試中眼熟手生，難以取得好的成績。所以，在我們還沒有建立起來完備的知識(shí)結(jié)構(gòu)之前，一帶而過的復(fù)習(xí)必然會(huì)難以把握題目中的重點(diǎn)，忽略精妙之處。題目看懂了不代表這個(gè)題目就會(huì)做了，其實(shí)真正動(dòng)手就會(huì)碰到很多問題，去解決這些問題就是提高自己的過程。只有通過動(dòng)手練習(xí)，我們才能規(guī)范答題模式，提高解題和運(yùn)算的熟練程度，這些都要通過自己不斷的摸索練習(xí)來加以體會(huì)。
二、做題，需要注重總結(jié)歸納
有一部分考生認(rèn)為：歸納總結(jié)是復(fù)習(xí)進(jìn)行到后期才做的事情，現(xiàn)在只要能熟悉大綱的知識(shí)點(diǎn)及考察重點(diǎn)，把遇到的題都做會(huì)就可以了。確實(shí)，數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)離開了做題不行，但沉浸在題海里，每天做許多題目，從來不總結(jié)，這樣的結(jié)果往往是做錯(cuò)的題目再次做時(shí)還是會(huì)犯錯(cuò)。及時(shí)的歸納和總結(jié)，才能將你所做的大量題目變?yōu)樽约赫莆盏闹R(shí)，將你的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)體系夯實(shí)打牢。
比如說：求極限的方法大體超不過七種：1分子分母同乘同除2變量代換3非零因子的提出4羅比答法則5等價(jià)無窮小6夾逼7臺(tái)勒公式。再比如：級(jí)數(shù)斂散性的判別方法：1一般比較法2極限比較法3比值法4根值法;再比如線性代數(shù)中證明線性無關(guān)的方法有：1定義法(同乘或拆項(xiàng)重組)2秩判別法3齊次方程AX=0只有零解4反證法。等等。需要說明的是，方法雖然提倡越多越好，但是課本上沒有的或是超綱的我們就沒有必要深究了，比如說有的考研輔導(dǎo)書所介紹的微分算子法來求解微分方程，我覺得就沒有必要去記憶它，畢竟這個(gè)方法有其局限性，不是面面俱到。若沉迷于此技巧的話，考試中出的題恰好是它的盲區(qū)，那就虧大了!有的書還介紹分布積分的表格法，速度確實(shí)挺快，但是也有局限性，不太容易靈活應(yīng)用，況且一般的方法也慢不到哪去，為什么還要多此一舉呢?所以說在總結(jié)方法時(shí)不在于多，而在于精。核心是有助于自己的解題習(xí)慣，使自己更加方便的征服考題。
三、堅(jiān)持到底，拒絕“三天打漁兩天曬網(wǎng)”
還有的考生認(rèn)為現(xiàn)在離考試還遠(yuǎn)，沒有緊迫感。今天沒事干就看看書做兩個(gè)題，明天有些事情就把書放在一邊不理會(huì)了。這樣的結(jié)果是看了后面忘了前面，知識(shí)沒有連續(xù)性，形不成體系�？佳械穆烦淌锹L的，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是枯燥的，在復(fù)習(xí)過程中需要考生具有堅(jiān)強(qiáng)的毅力。雖然2013的數(shù)學(xué)考試大綱未頒布，但萬變不離其宗，考研數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容一般變化不大，考生可以參照去年的大綱和試題進(jìn)行復(fù)習(xí)。詳細(xì)了解本專業(yè)應(yīng)考的數(shù)學(xué)卷種的基本要求，考試的題型、類別和難易度，以便更好的展開復(fù)習(xí)。凡是在大綱中表述為“會(huì)”、“理解”、“掌握”等的考試內(nèi)容往往都是主要考點(diǎn)，務(wù)必要作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。
數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不像英語、政治對(duì)輔導(dǎo)書的依賴性很大，主要靠課本來打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。翻一下數(shù)學(xué)大綱，上面列出的知識(shí)點(diǎn)全部來源于課本。所以考生一定要老老實(shí)實(shí)參照大綱的要求把原來的課本找出來，按照大綱對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基本方法、基本定理準(zhǔn)確把握。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的莫過于堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，包括對(duì)定理公式的深入理解，對(duì)基本運(yùn)算的熟練和高正確率，對(duì)最基本的一些解題方法的掌握和運(yùn)用。
最后，專家提示大家：最深刻的道理，往往存在于最簡(jiǎn)單的事實(shí)之中。考生們要仔細(xì)、認(rèn)真地分析每道題的考點(diǎn)，無論是多難的題目，最后都?xì)w結(jié)到數(shù)學(xué)課本上的知識(shí)點(diǎn)。重視基礎(chǔ)，就是搞好第一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的關(guān)鍵，更是一種態(tài)度，“態(tài)度決定一切”。
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)技巧
打牢基礎(chǔ)
考試大綱明確給出了考察目標(biāo)：要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)的基本方法，具備抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。所以考試的重點(diǎn)仍是基本概念、基本理論和基本方法三個(gè)基本要求。
我們要把基礎(chǔ)、強(qiáng)化階段（自己復(fù)習(xí)的同學(xué)要獨(dú)立完成）所學(xué)各知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，可以按照題型進(jìn)行歸納總結(jié)，每個(gè)題型涉及的知識(shí)點(diǎn)、解題方法、解題思路等分門歸類，形成自己的知識(shí)體系，這樣在做題的時(shí)候才能迅速有效的找到解題方法、思路。
所用時(shí)間最遲不要超過10月中下旬，免于耽誤后面的計(jì)劃。
必須利用好真題
歷年真題，是抽象的考試大綱具體的呈現(xiàn)。利用好真題，可以迅速提高我們實(shí)戰(zhàn)的能力。做真題的好處多多，仿真模擬、強(qiáng)化解題速度、訓(xùn)練綜合解題能力、檢驗(yàn)基礎(chǔ)知識(shí)的薄弱環(huán)節(jié)等等。如何最有效的利用好真題呢？可以采用三天一個(gè)輪回：首先第一天應(yīng)是全真模擬，認(rèn)真對(duì)待，把每次練習(xí)當(dāng)做實(shí)戰(zhàn)，不翻書，不拖時(shí)間，最大可能的找到自己的薄弱環(huán)節(jié)，模擬結(jié)束之后，對(duì)照答案，找出錯(cuò)題及不會(huì)的題目，查閱遺忘的知識(shí)點(diǎn)，及時(shí)彌補(bǔ)。其次第二、三天應(yīng)是錯(cuò)題強(qiáng)化,遇到的問題，要及時(shí)解決，這是快速提高最有效的途徑。由于慣性思維，人們總是會(huì)在犯錯(cuò)的地方，繼續(xù)犯同樣的錯(cuò)誤，所以錯(cuò)題強(qiáng)化一遍之后，難免還有不會(huì)的，為了加強(qiáng)薄弱，徹底沒有后顧之憂，應(yīng)把錯(cuò)題的解題再次強(qiáng)化。這樣我們就把一套試卷吃透�？偟膩碚f即是：仿真模擬——錯(cuò)題強(qiáng)化——再次強(qiáng)化。
三天或四天一套真題，最好在11月底之前完成歷年真題的學(xué)習(xí)。
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