考研數(shù)學(xué)歷年真題線性代數(shù)的考點總結(jié)
線代部分對很多備考的學(xué)子來說，最深刻感覺就是，抽象、概念多、定理多、性質(zhì)多、關(guān)系多。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)歷年真題線性代數(shù)的要點，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)歷年真題線性代數(shù)的重點
►線性代數(shù)章節(jié)總結(jié)
第一章行列式
本章的考試重點是行列式的計算，考查形式有兩種：一是數(shù)值型行列式的計算，二是抽象型行列式的計算.另外數(shù)值型行列式的計算不會單獨的考大題，考選擇填空題較多，有時出現(xiàn)在大題當(dāng)中的一問或者是在大題的處理其他問題需要計算行列式，題目難度不是很大。
主要方法是利用行列式的性質(zhì)或者展開定理即可。而抽象型行列式的計算主要：利用行列式的性質(zhì)、利用矩陣乘法、利用特征值、直接利用公式、利用單位陣進(jìn)行變形、利用相似關(guān)系。06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計算問題，14年選擇考了一個數(shù)值型的矩陣行列式，15、16年的數(shù)一、三的填空題考查的是一個n行列式的計算，今年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三這塊都沒有涉及。
第二章矩陣
本章的概念和運算較多，而且結(jié)論比較多，但是主要以填空題、選擇題為主，另外也會結(jié)合其他章節(jié)的知識點考大題。本章的重點較多，有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。
其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉(zhuǎn)化，10年考查的是矩陣的秩，08年考的則是抽象矩陣求逆的問題，這幾年考查的形式為小題，而13年的兩道大題均考查到了本章的知識點，第一道題目涉及到矩陣的運算，第二道大題則用到了矩陣的秩的相關(guān)性質(zhì)。
14的第一道大題的第二問延續(xù)了13年第一道大題的思路，考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結(jié)合的知識，但是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。16年只有數(shù)二了矩陣等價的判斷確定參數(shù)。
第三章向量
本章是線代里面的重點也是難點，抽象、概念與性質(zhì)結(jié)論比較多。重要的概念有向量的線性表出、向量組等價、線性相關(guān)與線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組等。復(fù)習(xí)的時候要注意結(jié)構(gòu)和從不同角度理解。
做題重心要放在問題轉(zhuǎn)換上面。出題方式主要以選擇與大題為主。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題，13年考查的則是向量組的等價，14年的選擇題則考查了向量組的線性無關(guān)性。
15年數(shù)一第20題結(jié)合向量空間的基問題考查了向量組等價的問題。16年數(shù)數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二23題考的同樣的題，第二問考向量組的線性表示的問題。
第四章線性方程組
主要考點有兩個：一是解的判定與解的結(jié)構(gòu)、二是求解方程�？疾斓姆绞竭�是比較固定，直接給方程討論解的情況、解方程或者通過其他的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組、矩陣方程的形式來考。
06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題，13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯，但也是線性方程組求解的問題。14年的第一道大題就是線性方程組的問題，15年選擇題考查了解的判定，數(shù)二、數(shù)三同一個大題里面考查了矩陣方程的問題。
16年數(shù)一第20題矩陣方程解的判斷和求解，數(shù)三第20題與數(shù)二第22題直接考線性方程解的判斷和求解，數(shù)一第21題第二問解矩陣方程。16年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第23題第二問直接考矩陣方程解求解，基本都不需要大家做轉(zhuǎn)換。今年數(shù)一、數(shù)三第20題、數(shù)二第22題第二問題都考了抽象的線性方程的求解問題。
第五章矩陣
矩陣的特征值與特征向量，每年大題都會涉及這章的內(nèi)容�？即箢}的時候較多。重點考查三個方面，一是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法;二是矩陣的相似對角化問題，三是實對稱矩陣的性質(zhì)以及正交相似對角化的問題。要的實對稱矩陣的性質(zhì)與正交相似對角化問題可以說每年必考，09、10、11、12、13年都考了。
14考查的則是矩陣的相似對角化問題，是以證明題的形式考查的。15年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三選擇題結(jié)合二次型正交化特點然后結(jié)合特征值定義考查;大題也是有一個題目相同，都是矩陣相似，然后對角化問題。
16年數(shù)一數(shù)三第21題與數(shù)二第23題的第一問以考高次冪的形式出現(xiàn)，實質(zhì)就是矩陣相似對角化問題。今年數(shù)一、數(shù)三第5、6、20、題與數(shù)二第7、8、14、22、14題都考相似、相似對角的判斷性質(zhì)。今年在這章涉及的分?jǐn)?shù)高達(dá)20多分。
第六章二次型
本章是第五章的運用，有兩個重點：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;二是正定二次型。前一個重點主要考查大題，有兩種處理方法：配方法與正交變換法，而正交變換法是考查的重中之重。
10、11、12年均以大題的形式出現(xiàn)，考查的是利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目，但它考查的則是二次型的矩陣表示，另外也考到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，它是通過間接的方式求得特征值然后直接得出標(biāo)準(zhǔn)形的。后一考點正定二次型則以小題為主。
14則是以填空題的形式出現(xiàn)的，考查的題目為已知二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，讓求參數(shù)的取值范圍。15年結(jié)合對角化考了個選擇題。
16年數(shù)一結(jié)合空間解析幾何考了二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，數(shù)三、數(shù)二正負(fù)慣性指數(shù)考察。今年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第3題考察的就是二次型正交對角化問題。
綜合所述，線代每年的考題都比較固定，大題基本上在線性方程和特征值的角度出。所以建議19的同學(xué)在復(fù)習(xí)線代的時候從以下幾個方面去把握。
►掌握要點：
一、把線代基本的概念弄清楚，線代的概念要從定義的角度和形式上面去把握;
二、線代的記號要清楚，而且能夠?qū)懗蓪?yīng)的形式去表示;
三、重視線代里面知識點的不同角度的轉(zhuǎn)換關(guān)系，比如秩與解關(guān)系、行列式與秩關(guān)系等;
四、前期要把線代里面固定題型的方法弄透，比如齊次方程的基礎(chǔ)解系是怎么求的、矩陣秩怎么求等
►具體方法：
一、線性代數(shù)比高數(shù)要相對來說好復(fù)習(xí)，在平時大家可以多看看高數(shù)，但是在大綱解析出來之后，大家就不能懈怠它了。
因為這是一個分界點時間，今后線性代數(shù)每天都要安排時間復(fù)習(xí)，因為需要背的公式還是比較多的，很多同學(xué)只要隔一段時間不復(fù)習(xí)，知識點就會忘記，建議每天復(fù)習(xí)線性代數(shù)的時間不低于一個小時。
二、線性代數(shù)在前期可能做得題目比較簡單，在今后，同學(xué)們要開始做考研難度的題目，從現(xiàn)在開始每天做真題，隔一天做一套，做完之后多總結(jié)真題規(guī)律。
線性代數(shù)所有章節(jié)都緊密聯(lián)系，所以同學(xué)們在復(fù)習(xí)的時候，不要覺得沒有復(fù)習(xí)到的章節(jié)可以先放放，需要把整個線性代數(shù)知識點融會貫通，形成自己的知識框架。
三、最后是有一個小建議，同學(xué)們從現(xiàn)在開始，可以把線性代數(shù)的公式和結(jié)論總結(jié)在筆記上，并且抽時間要都推導(dǎo)一遍，尤其是第二章矩陣部分，公式很多。
考研數(shù)學(xué)沖刺求極限的方法
首先對極限的總結(jié)如下。極限的保號性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致。
1、極限分為一般極限，還有個數(shù)列極限
(區(qū)別在于數(shù)列極限是發(fā)散的，是一般極限的一種)。
2、解決極限的方法如下
1)等價無窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記。(x趨近無窮的時候還原成無窮小)
2)洛必達(dá)法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)
首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑是死路一條)必須是0比0，無窮大比無窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。
洛必達(dá)法則分為三種情況
1)0比0無窮比無窮時候直接用
2)0乘以無窮，無窮減去無窮(應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了
3)0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方
對于(指數(shù)冪數(shù))方程方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，ln(x)兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0,當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候ln(x)趨近于0)
3、泰勒公式
(含有e^x的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要特變注意!)e^x展開,sinx展開,cos展開,ln(1+x)展開對題目簡化有很好幫助
4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法。
取大頭原則最大項除分子分母!看上去復(fù)雜處理很簡單。
5、無窮小與有界函數(shù)的處理辦法
面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了!
6、夾逼定理
(主要對付的是數(shù)列極限)這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。
7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用
(對付數(shù)列極限)(q絕對值符號要小于1)
8、各項的拆分相加
(來消掉中間的大多數(shù))(對付的還是數(shù)列極限)可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)。
9、求左右求極限的方式
(對付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，Xn的極限與Xn+1的極限是一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化。
10、兩個重要極限的應(yīng)用。
這兩個很重要!對第一個而言是x趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大無窮小都有對有對應(yīng)的形式(第二個實際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式)(當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時候要特別注意可能是用第二個重要極限)
11、還有個方法，非常方便的方法。
就是當(dāng)趨近于無窮大時候，不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的。x的x次方快于x!,快于指數(shù)函數(shù),快于冪數(shù)函數(shù),快于對數(shù)函數(shù)(畫圖也能看出速率的快慢)。當(dāng)x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了
12、換元法
是一種技巧，不會對某一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中
13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的。
14、還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
15、單調(diào)有界的性質(zhì)
對付遞推數(shù)列時候使用證明單調(diào)性。
16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限
(一般都是x趨近于0時候，在分子上f(x)加減某個值)加減f(x)的形式，看見了有特別注意)(當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時，f(0)的導(dǎo)數(shù)=0的時候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義!)
考研數(shù)學(xué)易錯點分析
高等數(shù)學(xué)
1.函數(shù)在一點處極限存在，連續(xù)，可導(dǎo)，可微之間關(guān)系。對于一元函數(shù)函數(shù)連續(xù)是函數(shù)極限存在的充分條件。若函數(shù)在某點連續(xù)，則該函數(shù)在該點必有極限。若函數(shù)在某點不連續(xù)，則該函數(shù)在該點不一定無極限。若函數(shù)在某點可導(dǎo)，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。但是如果函數(shù)不可導(dǎo)，不能推出函數(shù)在該點一定不連續(xù)，可導(dǎo)與可微等價。而對于二元函數(shù)，只能又可微推連續(xù)和可導(dǎo)(偏導(dǎo)都存在)，其余都不成立。
2.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。
3.極值點，拐點。駐點與極值點的.關(guān)系：在一元函數(shù)中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點，而函數(shù)的極值點必是函數(shù)的駐點或?qū)?shù)不存在的點。注意極值點和拐點的定義一充、二充、和必要條件。
4.夾逼定理和用定積分定義求極限。這兩種方法都可以用來求和式極限，注意方法的選擇。還有夾逼定理的應(yīng)用，特別是無窮小量與有界量之積仍是無窮小量。
5.可導(dǎo)是對定義域內(nèi)的點而言的，處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù)，只要一個函數(shù)在定義域內(nèi)某一點不可導(dǎo)，那么就不存在導(dǎo)函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導(dǎo)。
6.泰勒中值定理的應(yīng)用，可用于計算極限以及證明。
7.比較積分的大小。定積分比較定理的應(yīng)用(常用畫圖法)，多重積分的比較，特別注意第二類曲線積分，曲面積分不可直接比較大小。
8.抽象型的多元函數(shù)求導(dǎo)，反函數(shù)求導(dǎo)(高階)，參數(shù)方程的二階導(dǎo)，以及與變限積分函數(shù)結(jié)合的求導(dǎo)
9.廣義積分和級數(shù)的斂散性的判斷。
10.介值定理和零點定理的應(yīng)用。關(guān)鍵在于觀察和變換所要證明等式的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)。
11.保號性。極限的性質(zhì)中最重要的就是保號性，注意保號性的兩種形式以及成立的條件。
12.第二類曲線積分和第二類曲面積分。在求解的過程中一般會使用格林公式和高斯公式，大部分同學(xué)都會把精力關(guān)注在是否閉合，偏導(dǎo)是否連續(xù)上，而忘記了第三個條件——方向，要引起注意。線性代數(shù)
1、行列式的計算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是線代的工具，判定系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組解的情況及特征值的計算都會用到行列式的計算，故要引起重視。
2、矩陣的變換。矩陣是線代的研究對象，線性方程組、特征值與特征向量、相似對角化，二次型，其實都是在研究矩陣。一定要注意在化階梯型時只能對矩陣做行變換，不可做列變換變換。
3、向量和秩。向量和秩比較抽象，也是線代學(xué)習(xí)的重點和難點，研究線性方程組解的情況其實就是在研究系數(shù)矩陣的秩，也是在研究把系數(shù)矩陣按列分塊得到的向量組的秩。
4、線性方程組的解。線性方程組是每年的必看知識點，要熟練掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題，核心是理解基礎(chǔ)解系，要能夠掌握具體方程組的數(shù)列方法，更要能熟練解決抽象型方程組，一般會轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣的秩或者基礎(chǔ)解，然后解決問題。
5、特征值與特征向量。特征值與特征向量起到承前啟后的作用，一特征值對應(yīng)的特征向量其實就是其對應(yīng)矩陣作為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其重要應(yīng)用就是相似對角化及正交相似對角化，是后面二次型的基礎(chǔ)。
6、相似對角化，包括相似對角化及正交相似對角化。要會判斷是否可以相似對角化，及正交相似對角化時，怎么施密特正交化和單位化。
7、二次型。二次型是線代的一個綜合型章節(jié)，會用到前面的很多知識。要熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，二次型正定的判定，及慣性指數(shù)。
8、矩陣等價及向量組等價的充要條件，矩陣等價，相似，合同的條件。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計
1、非等可能 與 等可能。若一次隨機試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有N個，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，則每一個基本事件的概率都是1/N;若其中某個事件A包含的結(jié)果有M個，則事件A的概率為M/N。
2、互斥與對立 對立一定互斥，但互斥不一定對立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B對立，則滿足(1)A∩B=空集;(2)P(A+B)=1。
3、互斥與獨立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B獨立，則P(AB)=P(A)P(B);概率為0或者1的事件與任何事件都獨立
4、排列與組合。排列與順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)，同類相乘有序，不同類相乘無序。
5、不可能事件與概率為零的隨機事件。 不可能事件的概率一定為零,但概率為零的隨機事件不一定是不可能事件，如連續(xù)型隨機變量在任何一點的概率都為0。
6、必然事件與概率為1的事件。必然事件的概率一定為1，但概率為1的隨機事件不一定是必然事件。對于一般情形，由P(A)=P(B)同樣不能推得隨機事件A等于隨機事件B。
7、條件概率。P(A|B)表示事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率。若“B是A的子集”，則P(A|B)=1，但P(B|A)=P(B)是不對的，只有當(dāng)P(A)=1時才成立。在求二維連續(xù)型隨機變量的條件概率密度函數(shù)時，一定是在邊緣概率密度函數(shù)大于零時，才可使用“條件=聯(lián)合/邊緣”;反過來用此公式求聯(lián)合概率密度函數(shù)時，也要保證邊緣概率密度函數(shù)大于零。
8、隨機變量概率密度函數(shù)。對于一維連續(xù)型隨機變量，用分布函數(shù)法，先討論概率為0和1的區(qū)間，然后反解，再討論，最后求導(dǎo)。對于二維隨機變量，若是連續(xù)型和離散型，用全概率公式，若是連續(xù)型和連續(xù)性同樣用分布函數(shù)法，若隨機變量是Z=X+Y型，用卷積公式。
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