關(guān)于初中數(shù)學(xué)典型的案例分析
我僅從四個方面，借助教學(xué)案例分析的形式，向老師們匯報一下我個人數(shù)學(xué)教學(xué)的體會，這四個方面是：
1.在多樣化學(xué)習(xí)活動中實現(xiàn)三維目標(biāo)的整合;2.課堂教學(xué)過程中的預(yù)設(shè)和生成的動態(tài)調(diào)整;3.對數(shù)學(xué)習(xí)題課的思考;4.對課堂提問的思考。
首先，結(jié)合《勾股定理》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧诙鄻踊瘜W(xué)習(xí)活動中實現(xiàn)三維目標(biāo)的整合
案例1：《勾股定理》的課堂教學(xué)
第一個環(huán)節(jié)：探索勾股定理的教學(xué)
師(出示4幅圖形和表格)：觀察、計算各圖中正方形A、B、C的面積，完成表格，你有什么發(fā)現(xiàn)?
A的面積
B的面積
C的面積
生：從表中可以看出A、B兩個正方形的面積之和等于正方形C的面積。并且，從圖中可以看出正方形A、B的邊就是直角三角形的兩條直角邊，正方形C的邊就是直角三角形的斜邊，根據(jù)上面的結(jié)果，可以得出結(jié)論：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
這里，教師設(shè)計問題情境，讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的密切關(guān)聯(lián)，形成猜想，主動探索結(jié)論，訓(xùn)練了學(xué)生的歸納推理的能力，數(shù)形結(jié)合的思想自然得到運用和滲透，“面積法”也為后面定理的證明做好了鋪墊，雙基教學(xué)寓于學(xué)習(xí)情境之中。
第二個環(huán)節(jié)：證明勾股定理的教學(xué)
教師給各小組奮發(fā)制作好的直角三角形和正方形紙片，先分組拼圖探究，在交流、展示，讓學(xué)生在實踐探究活動中形成新的能力(試圖發(fā)現(xiàn)拼圖和證明的規(guī)律：同一個圖形面積用不同的方法表示)。
學(xué)生展示略
通過小組探究、展示證明方法，讓學(xué)生把已有的面積計算知識與要證明的代數(shù)式聯(lián)系起來，并試圖通過幾何意義的理解構(gòu)造圖形，讓學(xué)生在探求證明方法的過程中深刻理解數(shù)學(xué)思想方法，提升創(chuàng)新思維能力。
第三個環(huán)節(jié)：運用勾股定理的教學(xué)
師：右圖是由兩個正方形
組成的圖形，能否剪拼為一個面積不變的新
的正方形，若能，看誰剪的次數(shù)最少。
生：可以剪拼成一個面積
不變的新的正方形，設(shè)原來的兩個正方形的
邊長分別是a、b，那么它們的面積和就是
a2+b2，由于面積不變，所以新正方形的面積
應(yīng)該是a2+b2，所以只要是能剪出兩個以a、b
為直角邊的直角三角形，把它們重新拼成一個
邊長為a2+b2的正方形就行了。
問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心就在于提高解決問題的能力。教師在此設(shè)置問題不僅是檢驗勾股定理的靈活運用，更是對勾股定理探究方法和證明思想(數(shù)形結(jié)合思想、面積割補(bǔ)的方法、轉(zhuǎn)化和化歸思想)的綜合運用，從而讓學(xué)生在解決問題中發(fā)展創(chuàng)新能力。
第四個環(huán)節(jié)：挖掘勾股定理文化價值
師：勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，見數(shù)與形密切聯(lián)系起來。它在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計算、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)推斷、數(shù)學(xué)論證和運用數(shù)學(xué)思想方法解決實際問題中都具有獨特的作用。勾股定理最早記載于公元前十一世紀(jì)我國古代的《周髀算經(jīng)》，在我國古籍《九章算術(shù)》中提出“出入相補(bǔ)”原理證明勾股定理。在西方勾股定理又被成為“畢達(dá)哥拉斯定理”，是歐式幾何的核心定理之一，是平面幾何的重要基礎(chǔ)，關(guān)于勾股定理的證明，吸引了古今中外眾多數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)家，甚至美國總統(tǒng)也投入到勾股定理的證明中來。它的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用都蘊(yùn)涵著豐富的'數(shù)學(xué)人文內(nèi)涵，希望同學(xué)們課后查閱相關(guān)資料，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史和數(shù)學(xué)家的故事，感受數(shù)學(xué)的價值和數(shù)學(xué)精神，欣賞數(shù)學(xué)的美。
新課程三維目標(biāo)(知識和技能、過程和方法、情感態(tài)度和價值觀)從三個維度構(gòu)建起具有豐富內(nèi)涵的目標(biāo)體系，課程運行中的每一個目標(biāo)都可以與三個維度發(fā)生聯(lián)系，都應(yīng)該在這三個維度上獲得教育價值。
2.課堂教學(xué)過程中的預(yù)設(shè)和生成的動態(tài)調(diào)整
案例2：年前，在魯教版七年級數(shù)學(xué)上冊《配套練習(xí)冊》第70頁，遇到一道填空題：
例：設(shè)a、b、c分別表示三種質(zhì)量不同的物體，如圖所示，圖①、圖②兩架天平處于平衡狀態(tài)。為了使第三架天平(圖③)也處于平衡狀態(tài)，則“?”處應(yīng)放個物體b?
通過調(diào)查，這個問題只有極少數(shù)學(xué)生填上了答案，還不知道是不是真的會解，我需要講解一下。
教學(xué)引入
師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現(xiàn)在請同學(xué)們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進(jìn)行折疊處理。
動畫演示：
場景一：正方形折疊演示
師：這就是我們得到的正方形。下面請同學(xué)們拿出三角板(刻度尺)和圓規(guī)，我們來研究正方形的幾何性質(zhì)—邊、角以及對角線之間的關(guān)系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。
[學(xué)生活動：各自測量。]
鼓勵學(xué)生將測量結(jié)果與鄰近同學(xué)進(jìn)行比較，找出共同點。
講授新課
找一兩個學(xué)生表述其結(jié)論，表述是要注意糾正其語言的規(guī)范性。
動畫演示：
場景二：正方形的性質(zhì)
師：這些性質(zhì)里那些是矩形的性質(zhì)?
[學(xué)生活動：尋找矩形性質(zhì)。]
動畫演示：
場景三：矩形的性質(zhì)
師：同樣在這些性質(zhì)里尋找屬于菱形的性質(zhì)。
[學(xué)生活動;尋找菱形性質(zhì)。]
動畫演示：
場景四：菱形的性質(zhì)
師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。
及時提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。
師：根據(jù)這些性質(zhì)，我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準(zhǔn)確的定義?
[學(xué)生活動：積極思考，有同學(xué)做躍躍欲試狀。]
師：請同學(xué)們回想矩形與菱形的定義，可以根據(jù)矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。
學(xué)生應(yīng)能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應(yīng)鼓勵，把以下三種板書：
“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形�！�
“有一個角是直角的菱形叫做正方形�！�
“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形�！�
[學(xué)生活動：討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]
師：根據(jù)定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系梳理一下。
我講解的設(shè)計思路是這樣的：
一.引導(dǎo)將圖①和圖②中的平衡狀態(tài)，用數(shù)學(xué)式子(符號語言——數(shù)學(xué)語言)表示(現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化——數(shù)學(xué)建模)：
圖①：2a=c+b.圖②:a+b=c.
因此，2a=(a+b)+b.
可得：a=2b，c=3b.
所以，a+c=5b.
答案應(yīng)填5.
我自以為思維嚴(yán)密，有根有據(jù)。然而，在讓學(xué)生展示自己的想法時，卻出乎我的意料。
學(xué)生1這樣思考的：
假設(shè)b=1,a=2,c=3.所以，a+c=5，答案應(yīng)填5.
學(xué)生這是用特殊值法解決問題的，雖然特殊值法也是一種數(shù)學(xué)方法，但是存在很大的不確定性，不能讓學(xué)生僅停留在這種淺顯的思維表層上。面對這個教學(xué)推進(jìn)過程的教學(xué)“新起點”，我必須深化學(xué)生的思維，但是，還不能打擊他的自信心，必須保護(hù)好學(xué)生的思維成果。因此，我立刻放棄了準(zhǔn)備好的講解方案，以學(xué)生思維的結(jié)果為起點，進(jìn)行調(diào)整。
我先對學(xué)生1的方法進(jìn)行積極地點評，肯定了這種思維方式在探索問題中的積極作用，當(dāng)那幾個同樣做法的學(xué)生自信心溢于言表時，我隨后提出這樣一個問題：
“你怎么想到假設(shè)b=1,a=2,c=3?a、b、c是不是可以假設(shè)為任意的三個數(shù)?”
有的學(xué)生不假思索，馬上回答：“可以是任意的三個數(shù)�！币灿械膶W(xué)生持否定意見，大多數(shù)將信將疑，全體學(xué)生被這個問題吊足了胃口，我趁機(jī)點撥：
“驗證一下吧�！�
全班學(xué)生立刻開始思考，驗證，大約有3分鐘的時間，學(xué)生們開始回答這個問題：
“b=2，a=3，c=4時不行，不能滿足圖①、圖②中的數(shù)量關(guān)系。”
“b=2，a=4，c=6時可以。結(jié)果也該填5.”
“b=3，a=6，c=9時可以，結(jié)果也一樣。”
“b=4，a=8，c=12時可以，結(jié)果也一樣�！�
“我發(fā)現(xiàn)，只要a是b的2倍，c是b的3倍就能滿足圖①、圖②中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)果就一定是5.”
這時，學(xué)生的思維已經(jīng)由特殊上升到一般了，也就是說在這個過程中，學(xué)生的歸納推理得到了訓(xùn)練，對特殊值法也有了更深的體會，用字母表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)而得到a=2b，c=3b.所以，a+c=5b.答案應(yīng)填5.
我的目的還沒有達(dá)到，繼續(xù)拋出問題：
“我們列舉了好多數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)論，你還能從圖①、圖②中的數(shù)量關(guān)系本身，尋找更簡明的方法嗎?”學(xué)生又陷入深深地思考中，當(dāng)我巡視各小組中出現(xiàn)了“圖①：2a=c+b.圖②:a+b=c.”時，我知道，學(xué)生的思維快與嚴(yán)密的邏輯推理接軌了。
我們是不是都有這樣的感受,課堂教學(xué)設(shè)計兼具“現(xiàn)實性”與“可能性”的特征，這意味著課堂教學(xué)設(shè)計方案與教學(xué)實施過程的展開之間不是“建筑圖紙”和“施工過程”的關(guān)系，即課堂教學(xué)過程不是簡單地執(zhí)行教學(xué)設(shè)計方案的過程。
在課堂教學(xué)展開之初，我們可能先選取一個起點切入教學(xué)過程，但隨著教學(xué)的展開和師生之間、生生之間的多向互動，就會不斷形成多個基于不同學(xué)生發(fā)展?fàn)顟B(tài)和教學(xué)推進(jìn)過程的教學(xué)“新起點”。因此課堂教學(xué)設(shè)計的起點并不是唯一的，而是多元的;不是確定不變的，而是預(yù)設(shè)中生成的;不是按預(yù)設(shè)展開僵硬不變的，而是在動態(tài)中調(diào)整的。
3.一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課的思考
案例3：一位教師的習(xí)題課，內(nèi)容是“特殊四邊形”。
該教師設(shè)計了如下習(xí)題：
題1(例題)順次連接四邊形各邊的中點，所得的四邊形是怎樣的四邊形?并證明你的結(jié)論。
題2如右圖所示，△ABC中，中線BE、CF
交于O,G、H分別是BO、CO的中點。
(1)求證：FG∥EH;
(2)求證：OF=CH.
題3(拓展練習(xí))當(dāng)原四邊形具有什么條件時，其中點四邊形為矩形、菱形、正方形?
題4(課外作業(yè))如右圖所示，
DE是△ABC的中位線，AF是邊
BC上的中線，DE、AF相交于點O.
(1)求證：AF與DE互相平分;
(2)當(dāng)△ABC具有什么條件時，AF=DE。
(3)當(dāng)△ABC具有什么條件時，AF⊥DE。
教師先讓學(xué)生思考第一題(例題)。教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖、觀察后，進(jìn)入證明教學(xué)。
師：如圖，由條件E、F、G、H
是各邊的中點，可聯(lián)想到三角形中位
線定理，所以連接BD，可得EH、
FG都平行且等于BD,所以EH平行
且等于FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形，下面，請同學(xué)們寫出證明過程。
只經(jīng)過五六分鐘，證明過程的教學(xué)就“順利”完成了，學(xué)生也覺得不難。但讓學(xué)生做題2，只有幾個學(xué)生會做。題3對學(xué)生的困難更大，有的模仿例題，畫圖觀察，但卻得不到矩形等特殊的四邊形;有的先畫矩形，但矩形的頂點卻不是原四邊形各邊的中點。
評課：本課習(xí)題的選擇設(shè)計比較好，涵蓋了三角形中位線定理及特殊四邊形的性質(zhì)與判定等數(shù)學(xué)知識。運用的主要方法有：(1)通過畫圖(實驗)、觀察、猜想、證明等活動，研究數(shù)學(xué);(2)溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，添加輔助線;(3)由于習(xí)題具備了一定的開放性、解法的多樣性，因此思維也要具有一定的深廣度。
為什么學(xué)生仍然不會解題呢?學(xué)生基礎(chǔ)較差是一個原因，在教學(xué)上有沒有原因?我個人感覺，主要存在這樣三個問題：
(1)學(xué)生思維沒有形成。教師只講怎么做，沒有講為什么這么做。教師把證明思路都說了出來，沒有引導(dǎo)學(xué)生如何去分析，剝奪了學(xué)生思維空間;
(2)缺少數(shù)學(xué)思想、方法的歸納，沒有揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。出現(xiàn)講了這道題會做，換一道題不會做的狀況;
(3)題3是動態(tài)的條件開放題，相對于題1是逆向思維，思維要求高，學(xué)生難把握，教師缺少必要的指導(dǎo)與點撥。
修正：根據(jù)上述分析，題1的教學(xué)設(shè)計可做如下改進(jìn)：
首先，對于開始例題證明的教學(xué)，提出“序列化”思考題：
(1)平行四邊形有哪些判定方法?
(2)本題能否直接證明EF∥FG,EH=FG?在不能直接證明的情況下，通�？紤]間接證明，即借助第三條線段分別把EH和FG的位置關(guān)系(平行)和數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，分析一下，那條線段具有這樣的作用?
(3)由E、F、G、H是各邊的中點，你能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識?
(4)圖中有沒有現(xiàn)成的三角形及其中位線?如何構(gòu)造?
設(shè)計意圖：上述問題(1)激活知識;問題(2)暗示輔助線添加的必要性，滲透間接解決問題的思想方法;問題(3)、(4)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)輔助線的具體做法。
其次，證明完成后，教師可引導(dǎo)歸納：
我們把四邊形ABCD稱為原四邊形，四邊形EFGH稱為中點四邊形，得到結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形;輔助線溝通了條件與結(jié)論的聯(lián)系，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)化。原四邊形的一條對角線溝通了中點四邊形一組對邊的位置和數(shù)量關(guān)系。這種溝通來源于原四邊形的對角線同時又是以中點四邊形的邊為中位線的兩個三角形的公共邊，由此可感受到，起到這種溝通作用的往往是圖形中的公共元素，因此，在證明中一定要關(guān)注這種公共元素。
然后，增設(shè)“過渡題”：原四邊形具備什么條件時，其中點四邊形為矩形?教師可點撥思考：
怎樣的平行四邊形是矩形?結(jié)合本題特點，你選擇哪種方法?考慮一個直角，即中點四邊形一組鄰邊的位置關(guān)系。一組鄰邊位置和數(shù)量關(guān)系的變化，原四邊形兩條對角線的位置和數(shù)量關(guān)系也隨之變化。
根據(jù)修正后的教學(xué)設(shè)計換個班重上這節(jié)課，這是效果明顯，大部分學(xué)生獲得了解題的成功，幾個題都出現(xiàn)了不同的證法。
啟示：習(xí)題課教學(xué)，例題教學(xué)是關(guān)鍵。例題與習(xí)題的關(guān)系是綱目關(guān)系，綱舉則目張。在例題教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思維，揭示數(shù)學(xué)思想，歸納解題方法策略�？梢試L試以下方法：
(1)激活、檢索與題相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。知識的激活、檢索緣于題目信息，如由條件聯(lián)想知識，由結(jié)論聯(lián)系知識。知識的激活和檢索標(biāo)志著思維開始運作;
(2)在思維的障礙處啟迪思維。思維源于問題，數(shù)學(xué)思維是隱性的心理活動，教師要設(shè)法采取一定的形式，凸顯思維過程，如：設(shè)計相關(guān)的思考問題，分解題設(shè)障礙，啟迪學(xué)生有效思維。
(3)及時歸納思想方法與解題策略。從方法論的角度考慮，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，意義不在習(xí)題本身，數(shù)學(xué)思想方法、策略才是數(shù)學(xué)本質(zhì)，習(xí)題僅是學(xué)習(xí)方法策略的載體，因此，方法策略的總結(jié)是很有必要的。題1的歸納總結(jié)使題2迎刃而解，題2是將題1的凸四邊形ABCD變?yōu)榘妓倪呅蜛BOC，兩題的實質(zhì)是一樣的。學(xué)生在解題3時，試圖模仿題1，這是解題策略問題。題1條件確定，可以通過畫圖、觀察發(fā)現(xiàn)，題3必須通過推理發(fā)現(xiàn)后才可畫出圖形。
4.注意課堂提問的藝術(shù)
案例1：一堂公開課——“相似三角形的性質(zhì)”，為了了解學(xué)生對相似三角形判定的掌握情況，提出兩個問題：
(1)什么叫相似三角形?
(2)相似三角形有哪幾種判定方法?
聽了學(xué)生流利、圓滿的回答，教師滿意地開始了新課教學(xué)。老師們對此有何評價?
C
B
A
事實上學(xué)生回答的只是一些淺層次記憶性知識，并沒有表明他們是否真正理解�？梢詫⑻釂栠@樣設(shè)計：
如圖，在△ABC和△A?B?C?中，
(1)已知∠A=∠A?,補(bǔ)充一個合適的
C?
A?
B?
條件，使△ABC∽△A?B?C?;
(2)已知AB/A?B?=BC/B?C?;補(bǔ)充一個合適的
條件，使△ABC∽△A?B?C?.
回答這樣的問題，僅靠死記硬背是不行的，只有在真正掌握了相似三角形判定的基礎(chǔ)上才能正確回答。這樣的提問能起到反思的作用，學(xué)生的思維被激活，教學(xué)的有效性能夠提高。
案例2：一堂講菱形的判定定理(是講對角線互相垂直平分的四邊形是菱形)的課，教師畫出圖形后，有一段對話：
師：四邊形ABCD中，AC與BD互相垂直平分嗎?
B
C
A
D
生：是!
師：你怎么知道?
生：這是已知條件!
師：那么四邊形ABCD是菱形嗎?
生：是的!
師：能通過證三角形全等來證明結(jié)論嗎?
生：能!
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