導(dǎo)數(shù)的概念是什么及幾何意義

　　我們專升本是以計(jì)算為主的,下面讓我們一起學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義以及幾何意義在考試中的考查內(nèi)容及相關(guān)題型的解法吧!以下是小編整理的導(dǎo)數(shù)的概念是什么及幾何意義，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　導(dǎo)數(shù)的概念

　　導(dǎo)數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或df(x0)/dx。

　　導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過(guò)極限的`概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。

　　不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)。然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù);不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

　　對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，xf'(x)也是一個(gè)函數(shù)，稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過(guò)程稱為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。反之，已知導(dǎo)函數(shù)也可以倒過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數(shù)，即不定積分。微積分基本定理說(shuō)明了求原函數(shù)與積分是等價(jià)的。求導(dǎo)和積分是一對(duì)互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。

　　導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則

　　由基本函數(shù)的和、差、積、商或相互復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)則可以通過(guò)函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)推導(dǎo)。基本的求導(dǎo)法則如下：

　　1、求導(dǎo)的線性：對(duì)函數(shù)的線性組合求導(dǎo)，等于先對(duì)其中每個(gè)部分求導(dǎo)后再取線性組合(即①式)。

　　2、兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)函數(shù)：一導(dǎo)乘二+一乘二導(dǎo)(即②式)。

　　3、兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)函數(shù)也是一個(gè)分式：(子導(dǎo)乘母-子乘母導(dǎo))除以母平方(即③式)。

　　4、如果有復(fù)合函數(shù)，則用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。

　　導(dǎo)數(shù)的歷史沿革

　　起源

　　大約在1629年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法;1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時(shí)，他構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A)，發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)f'(A)。

　　發(fā)展

　　17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開(kāi)始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數(shù)，相當(dāng)于我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為：他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程;在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成;最在于決定這個(gè)比當(dāng)變化趨于零時(shí)的極限。

　　成熟

　　1750年達(dá)朗貝爾在為法國(guó)科學(xué)家院出版的《百科全書(shū)》第四版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點(diǎn)，可以用現(xiàn)代符號(hào)簡(jiǎn)單表示： 。

　　1823年，柯西在他的《無(wú)窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)，并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值，那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。19世紀(jì)60年代以后，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語(yǔ)言，對(duì)微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達(dá)。

　　微積分學(xué)理論基礎(chǔ)，大體可以分為兩個(gè)部分。一個(gè)是實(shí)無(wú)限理論，即無(wú)限是一個(gè)具體的東西，一種真實(shí)的存在;另一種是潛無(wú)限理論，指一種意識(shí)形態(tài)上的過(guò)程，比如無(wú)限接近。

　　就數(shù)學(xué)歷史來(lái)看，兩種理論都有一定的道理，實(shí)無(wú)限就使用了150年。

　　光是電磁波還是粒子是一個(gè)物理學(xué)長(zhǎng)期爭(zhēng)論的問(wèn)題，后來(lái)由波粒二象性來(lái)統(tǒng)一。微積分無(wú)論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論，都不是最好的方法。

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