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奧數(shù)專題關(guān)于牛吃草的問題
“牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。以下是小編幫大家整理的奧數(shù)專題牛吃草的問題，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
1、牧場(chǎng)上有一片青草，每天勻速生長(zhǎng)，這片青草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，問供25頭�？梢猿詭滋欤�
2、有一口井，井底有泉水不斷涌出，每分鐘涌出的水量相等。如果用4臺(tái)抽水機(jī)來(lái)抽水，40分鐘可以抽完；如果用5臺(tái)抽水機(jī)來(lái)抽水，30分鐘可以抽完。現(xiàn)在要求24分鐘內(nèi)抽完井水，需要抽水機(jī)多少臺(tái)？
3、有一片青草，每天生長(zhǎng)的速度相同，已知這片青草可供15頭牛吃20天，或者供76只羊吃12天，如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8頭牛與64只羊一起吃，可以吃多少天？
4、牧場(chǎng)上有一片牧草，可以供27頭牛吃6天，供23頭牛吃9天。如果每天牧草生長(zhǎng)的速度相同，那么這片牧草可以供21頭牛吃幾天？
5、某牧場(chǎng)的牧草勻速生長(zhǎng)，已知15頭牛10天可以吃完牧場(chǎng)的草，或者25頭牛5天吃完牧場(chǎng)的草，那么30頭牛幾天可以吃完這片牧草？
6、有一片草地，草每天生長(zhǎng)的速度相同。這片草地可供5頭牛吃40天；或者供6頭牛吃30天。如果4頭牛吃了30天以后，又增加2頭牛一起吃，這片草地可以再吃幾天？
7、牧場(chǎng)上有一片牧草，可供27頭牛吃6周，或者可供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長(zhǎng)，可供21頭牛吃幾周？
8、一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同，現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者可供80只羊吃12天。如果1頭牛的吃草量相當(dāng)于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃幾天？
9、一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船艙內(nèi)。如果有10人淘水，3小時(shí)可淘完；5個(gè)人淘水8小時(shí)可淘完。如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？
10、一水庫(kù)存水量一定，河水均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？
11、12頭牛28天可吃完10公畝牧場(chǎng)上全部牧草，21頭牛63天可吃完30公畝牧場(chǎng)上全部牧草。多少頭牛126天可吃完72公畝牧場(chǎng)上全部牧草？（每公畝牧場(chǎng)上原有的草量相等，且每公畝牧場(chǎng)上每天草的生長(zhǎng)量相同）
奧數(shù)專題
一、牛吃草問題
牛吃草問題是一個(gè)很有趣的問題，關(guān)鍵在于牧場(chǎng)每天都長(zhǎng)新草，通過兩組條件的比較，先求出每天（周）長(zhǎng)牧草的新草量，然后把牛分成兩部分，一部分吃新草，一部分吃舊草，從而求出吃草的天數(shù)。顯然牛實(shí)際上是不能這樣分成兩部分去吃草的，但在解數(shù)學(xué)問題中，這種分成幾部分去解決問題的方法，可以使復(fù)雜的問題變成簡(jiǎn)單的問題，化繁為簡(jiǎn)是常常應(yīng)用的技巧之一。
例1 牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。如果27頭牛6周吃完，23頭牛9周吃完，那么21頭牛幾周吃完？
解：設(shè)1頭牛1周吃的草為1份，27頭牛6周吃27×6=162（份），23頭牛9周吃23×9=207（份），這說(shuō)明牧場(chǎng)每周長(zhǎng)新草（207－162）÷（9－6）=15（份）。原來(lái)（牛吃前）牧場(chǎng)有草 162－15×6=72（份）
吃新草的牛需要 15÷1=15（頭）吃舊草的牛有 21－15=6（頭）
吃完草的時(shí)間 72÷6=12（周）
例2 由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃10天？
解：20頭牛5天吃草20×5=100（份）15頭牛6天吃草15×6=90（份）
青草每天減少（100－90）÷（6－5）=10（份）牛吃草前牧場(chǎng)有草100＋10×5=150（份）150份草吃10天本可供150÷10=15（頭）因每天減少10份草，相當(dāng)于10頭牛吃掉，所以只能供牛15－10=5（頭）
二、牛吃草問題概念及公式
牛吃草問題又稱為消長(zhǎng)問題或牛頓牧場(chǎng) 牛吃草問題的·歷史起源：英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓(1642—1727)說(shuō)過：“在學(xué)習(xí)科學(xué)的時(shí)候，題目比規(guī)則還有用些”因此在他的著作中，每當(dāng)闡述理論時(shí)，總是把許多實(shí)例放在一起。在牛頓的《普遍的算術(shù)》一書中，有一個(gè)關(guān)于求牛和頭數(shù)的題目，人們稱之為牛頓的牛吃草問題。，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來(lái)的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式，分別是︰
假設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”
1）草的生長(zhǎng)速度＝（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；
2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù)；`
3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長(zhǎng)速度）；
4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長(zhǎng)速度。
這四個(gè)公式是解決消長(zhǎng)問題的基礎(chǔ)。
由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個(gè)不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫�(gè)基本公式。
牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。
解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。
這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：
1.(牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù))÷（吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù))=草地每天新長(zhǎng)草的量。
2.牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長(zhǎng)量×吃草天數(shù)=草地原有的草量。
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