數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角─植樹(shù)問(wèn)題》教材分析
和前面幾冊(cè)教材一樣，本冊(cè)也專門安排了數(shù)學(xué)廣角單元，向?qū)W生滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本冊(cè)的數(shù)學(xué)廣角──植樹(shù)問(wèn)題包含三個(gè)例題，主要是滲透有關(guān)植樹(shù)問(wèn)題的一些思想方法，通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中一些常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。
解決植樹(shù)問(wèn)題的思想方法是實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。植樹(shù)問(wèn)題通常是指沿一定的路線植樹(shù)，這條路線的總長(zhǎng)度被樹(shù)平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹(shù)要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹(shù)的棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。在現(xiàn)實(shí)生活中類似的問(wèn)題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場(chǎng)敲鐘等，這些問(wèn)題情境中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題，我們就把這類問(wèn)題統(tǒng)稱為植樹(shù)問(wèn)題。在植樹(shù)問(wèn)題中，植樹(shù)的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長(zhǎng)方形或圓形等）。即使是關(guān)于一條線段的植樹(shù)問(wèn)題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。
教材在編排上，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生初步體會(huì)解決植樹(shù)問(wèn)題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中探索解決問(wèn)題的有效方法的能力。在教學(xué)植樹(shù)問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境，從簡(jiǎn)單的情況入手，在解決問(wèn)題的分析、思考過(guò)程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
下面就教材中安排的三個(gè)典型例題進(jìn)行分析。
一、經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程
教材第106頁(yè)例1通過(guò)學(xué)生熟悉的植樹(shù)情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索間隔與點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、解決問(wèn)題的全過(guò)程。
教材用幾個(gè)小朋友的對(duì)話和圖片來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問(wèn)題的過(guò)程。首先由一個(gè)男孩說(shuō)出學(xué)生們可能會(huì)想到的答案：1005=20（棵），接著一個(gè)女孩問(wèn)：對(duì)嗎？檢驗(yàn)一下，來(lái)引發(fā)學(xué)生思考。接下來(lái)由小精靈提出了解決問(wèn)題的常用方法──從簡(jiǎn)單的情況入手解決復(fù)雜的問(wèn)題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個(gè)端點(diǎn)，一共有5個(gè)點(diǎn)，也就是要栽5棵樹(shù)。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹(shù)時(shí)確定樹(shù)苗數(shù)量的問(wèn)題并不能簡(jiǎn)單地用除法來(lái)解決。緊接著一個(gè)小男孩提出25 m可以栽幾棵？這次用畫線段圖的方式解決問(wèn)題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想──一個(gè)特例不足以說(shuō)明問(wèn)題，多個(gè)不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問(wèn)：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹(shù)的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時(shí)教材進(jìn)一步提出不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹(shù)嗎？讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。最后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決前面的植樹(shù)問(wèn)題：100 m長(zhǎng)的小路共有20個(gè)間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹(shù)。這樣就把分析、思考、解決問(wèn)題的整個(gè)全過(guò)程展示出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程并從中學(xué)習(xí)一些解決問(wèn)題的方法和策略。即遇到問(wèn)題時(shí)，可以先給出一個(gè)猜測(cè)，要判斷這個(gè)猜測(cè)對(duì)不對(duì)，可以用比較簡(jiǎn)單的例子來(lái)檢驗(yàn)，并且可以從簡(jiǎn)單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來(lái)解決原來(lái)的問(wèn)題。
對(duì)于例2（兩端不栽的情況）以及第107頁(yè)做一做第2題（一端栽一端不栽的情況），由于學(xué)生前面有了探索的經(jīng)驗(yàn)，這里可以放手讓學(xué)生去探索，用自己的方法去發(fā)現(xiàn)這兩種情況的植樹(shù)問(wèn)題中隱含的規(guī)律。
二、體會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想
本單元通過(guò)一些生活中的事例，讓學(xué)生根據(jù)不同的情況總結(jié)出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問(wèn)題。但是，本單元的教學(xué)最終目的并不只是讓學(xué)生明白規(guī)律，而是要引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究規(guī)律的產(chǎn)生原因，幫助其建立一一對(duì)應(yīng)的思維方式，形成解決問(wèn)題的策略，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
在植樹(shù)問(wèn)題中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是教學(xué)植樹(shù)問(wèn)題的`難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過(guò)幾何直觀幫助學(xué)生理解植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。例1是探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹(shù)問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)畫線段圖來(lái)發(fā)現(xiàn)栽樹(shù)的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)這兩幅圖，讓學(xué)生把點(diǎn)（樹(shù)）與線（間隔）一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個(gè)點(diǎn)（樹(shù)），所以栽樹(shù)棵數(shù)=間隔數(shù)+1。例2通過(guò)遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽的線段圖，做一做的第2題讓學(xué)生通過(guò)遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹(shù)的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹(shù)中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個(gè)單元教材通過(guò)線段圖的教學(xué)，突出一一對(duì)應(yīng)的思想，并以此為基礎(chǔ)分析植樹(shù)問(wèn)題三種不同的情況，即兩端都栽只栽一端與兩端都不栽。無(wú)論哪種情形，都能用一一對(duì)應(yīng)的思想統(tǒng)領(lǐng)。
教材通過(guò)選取生活中不同的事例，讓學(xué)生體會(huì)一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問(wèn)題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法──化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題所帶來(lái)的便利。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中探索規(guī)律，找出解決問(wèn)題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生抽取數(shù)學(xué)模型的能力。
在練習(xí)中，教材以植樹(shù)問(wèn)題為背景幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到路燈問(wèn)題、敲鐘問(wèn)題、鋸木問(wèn)題等都與植樹(shù)問(wèn)題有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。
三、感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
教材第108頁(yè)例3討論的是在封閉圖形周圍栽樹(shù)的情形。學(xué)生學(xué)習(xí)了例1、例2后，掌握了直線段中的植樹(shù)問(wèn)題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹(shù)問(wèn)題的思考方法來(lái)解決封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題。
面對(duì)封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題，教材首先提示研究方法：先畫圖試試看。假設(shè)周長(zhǎng)是40 m，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面例1、例2的研究經(jīng)驗(yàn)──直觀作圖、化繁為簡(jiǎn)來(lái)嘗試解決問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4棵后，教材并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹(shù)問(wèn)題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是請(qǐng)小精靈進(jìn)一步提出問(wèn)題：如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲為直后，封閉圖形上植樹(shù)其實(shí)可以轉(zhuǎn)化成一端栽另一端不栽的情形。接下來(lái)，教材通過(guò)兩位學(xué)生的對(duì)話我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹(shù)一一對(duì)應(yīng)相當(dāng)于一端栽，一端不栽，不僅揭示了封閉圖形上植樹(shù)的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯(lián)系。
本單元注重讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等活動(dòng)，使學(xué)生既學(xué)會(huì)一些解決問(wèn)題的一般方法與策略，又積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，例1通過(guò)對(duì)嗎？檢驗(yàn)一下100 m太長(zhǎng)了，可以先用簡(jiǎn)單的數(shù)試試你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律等，滲透了猜測(cè)──探索──歸納──應(yīng)用的解決問(wèn)題的策略和化繁為簡(jiǎn)的解決問(wèn)題的方法。
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