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正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖像和性質教學設計
(一)教學具準備
直尺,投影儀.
(二)教學目標
1.掌握 , 的定義域、值域、最值、單調區(qū)間.
2.會求含有 、 的三角式的定義域.
(三)教學過程
1.設置情境
研究函數(shù)就是要討論一些性質, , 是函數(shù),我們當然也要探討它的一些屬性.本節(jié)課,我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最基本的兩條性質.
2.探索研究
師:同學們回想一下,研究一個函數(shù)常要研究它的哪些性質?
生:定義域、值域,單調性、奇偶性、等等.
師:很好,今天我們就來探索 , 兩條最基本的性質——定義域、值域.(板書課題正、余弦函數(shù)的定義域、值域.)
師:請同學看投影,大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像.
師:請同學思考以下幾個問題:
。1)正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么?
。2)正弦、余弦函數(shù)的值域是什么?
。3)他們最值情況如何?
(4)他們的正負值區(qū)間如何分?
(5) 的解集如何?
師生一起歸納得出:
。1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是 .
。2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是 即 , ,稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性.
。3)取最大值、最小值情況:
正弦函數(shù) ,當 時,( )函數(shù)值 取最大值1,當 時,( )函數(shù)值 取最小值-1.
余弦函數(shù) ,當 ,( )時,函數(shù)值 取最大值1,當 ,( )時,函數(shù)值 取最小值-1.
。4)正負值區(qū)間:
( )
。5)零點: ( )
。 )
3.例題分析
【例1】求下列函數(shù)的定義域、值域:
。1) ; (2) ; (3) .
解:(1) ,
。2)由 ( )
又∵ ,∴
∴定義域為 ( ),值域為 .
。3)由 ( ),又由
∴
∴定義域為 ( ),值域為 .
指出:求值域應注意用到 或 有界性的條件.
【例2】求下列函數(shù)的最大值,并求出最大值時 的集合:
。1) , ; (2) , ;
(3) (4) .
解:(1)當 ,即 ( )時, 取得最大值
∴函數(shù)的最大值為2,取最大值時 的集合為 .
。2)當 時,即 ( )時, 取得最大值 .
∴函數(shù)的最大值為1,取最大值時 的集合為 .
(3)若 , ,此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù).
若 時, ∴ 時,即 ( )時,函數(shù)取最大值 ,
∴ 時函數(shù)的最大值為 ,取最大值時 的集合為 .
。4)若 ,則當 時,函數(shù)取得最大值 .
若 ,則 ,此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù).
若 ,當 時,函數(shù)取得最大值 .
∴當 時,函數(shù)取得最大值 ,取得最大值時 的集合為 ;當 時,函數(shù)取得最大值 ,取得最大值時 的集合為 ,當 時,函數(shù)無最大值.
指出:對于含參數(shù)的最大值或最小值問題,要對 或 的系數(shù)進行討論.
思考:此例若改為求最小值,結果如何?
【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件?
。1) ; (2) .
解:(1)由 ,
∴當 時,式子有意義.
(2)由 ,即
∴當 時,式子有意義.
4.演練反饋(投影)
。1)函數(shù) , 的簡圖是( )
(2)函數(shù) 的最大值和最小值分別為( )
A.2,-2 B.4,0 C.2,0 D.4,-4
。3)函數(shù) 的最小值是( )
A. B.-2 C. D.
。4)如果 與 同時有意義,則 的取值范圍應為( )
A. B. C. D. 或
。5) 與 都是增函數(shù)的區(qū)間是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
(6)函數(shù) 的定義域________,值域________, 時 的集合為_________.
參考答案:1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6. ; ;
5.總結提煉
。1) , 的定義域均為 .
。2) 、 的值域都是
。3)有界性:
。4)最大值或最小值都存在,且取得極值的 集合為無限集.
。5)正負敬意及零點,從圖上一目了然.
。6)單調區(qū)間也可以從圖上看出.
(五)板書設計
1.定義域
2.值域
3.最值
4.正負區(qū)間
5.零點
例1
例2
例3
課堂練習
課后思考題:求函數(shù) 的最大值和最小值及取最值時的 集合
提示:
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