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正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖像和性質教學設計

時間:2025-05-19 17:26:18 教學設計 我要投稿
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正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖像和性質教學設計

  (一)教學具準備

正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖像和性質教學設計

  直尺,投影儀.

  (二)教學目標

  1.掌握 , 的定義域、值域、最值、單調區(qū)間.

  2.會求含有 、 的三角式的定義域.

  (三)教學過程

  1.設置情境

  研究函數(shù)就是要討論一些性質, , 是函數(shù),我們當然也要探討它的一些屬性.本節(jié)課,我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最基本的兩條性質.

  2.探索研究

  師:同學們回想一下,研究一個函數(shù)常要研究它的哪些性質?

  生:定義域、值域,單調性、奇偶性、等等.

  師:很好,今天我們就來探索 , 兩條最基本的性質——定義域、值域.(板書課題正、余弦函數(shù)的定義域、值域.)

  師:請同學看投影,大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像.

  師:請同學思考以下幾個問題:

 。1)正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么?

 。2)正弦、余弦函數(shù)的值域是什么?

 。3)他們最值情況如何?

  (4)他們的正負值區(qū)間如何分?

  (5) 的解集如何?

  師生一起歸納得出:

 。1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是 .

 。2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是 即 , ,稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性.

 。3)取最大值、最小值情況:

  正弦函數(shù) ,當 時,( )函數(shù)值 取最大值1,當 時,( )函數(shù)值 取最小值-1.

  余弦函數(shù) ,當 ,( )時,函數(shù)值 取最大值1,當 ,( )時,函數(shù)值 取最小值-1.

 。4)正負值區(qū)間:

  ( )

 。5)零點: ( )

 。 )

  3.例題分析

  【例1】求下列函數(shù)的定義域、值域:

 。1) ; (2) ; (3) .

  解:(1) ,

 。2)由 ( )

  又∵ ,∴

  ∴定義域為 ( ),值域為 .

 。3)由 ( ),又由

  ∴

  ∴定義域為 ( ),值域為 .

  指出:求值域應注意用到 或 有界性的條件.

  【例2】求下列函數(shù)的最大值,并求出最大值時 的集合:

 。1) , ; (2) , ;

  (3) (4) .

  解:(1)當 ,即 ( )時, 取得最大值

  ∴函數(shù)的最大值為2,取最大值時 的集合為 .

 。2)當 時,即 ( )時, 取得最大值 .

  ∴函數(shù)的最大值為1,取最大值時 的集合為 .

  (3)若 , ,此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù).

  若 時, ∴ 時,即 ( )時,函數(shù)取最大值 ,

  ∴ 時函數(shù)的最大值為 ,取最大值時 的集合為 .

 。4)若 ,則當 時,函數(shù)取得最大值 .

  若 ,則 ,此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù).

  若 ,當 時,函數(shù)取得最大值 .

  ∴當 時,函數(shù)取得最大值 ,取得最大值時 的集合為 ;當 時,函數(shù)取得最大值 ,取得最大值時 的集合為 ,當 時,函數(shù)無最大值.

  指出:對于含參數(shù)的最大值或最小值問題,要對 或 的系數(shù)進行討論.

  思考:此例若改為求最小值,結果如何?

  【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件?

 。1) ; (2) .

  解:(1)由 ,

  ∴當 時,式子有意義.

  (2)由 ,即

  ∴當 時,式子有意義.

  4.演練反饋(投影)

 。1)函數(shù) , 的簡圖是( )

  (2)函數(shù) 的最大值和最小值分別為( )

  A.2,-2 B.4,0 C.2,0 D.4,-4

 。3)函數(shù) 的最小值是( )

  A. B.-2 C. D.

 。4)如果 與 同時有意義,則 的取值范圍應為( )

  A. B. C. D. 或

 。5) 與 都是增函數(shù)的區(qū)間是( )

  A. , B. ,

  C. , D. ,

  (6)函數(shù) 的定義域________,值域________, 時 的集合為_________.

  參考答案:1.B 2.B 3.A 4.C 5.D

  6. ; ;

  5.總結提煉

 。1) , 的定義域均為 .

 。2) 、 的值域都是

 。3)有界性:

 。4)最大值或最小值都存在,且取得極值的 集合為無限集.

 。5)正負敬意及零點,從圖上一目了然.

 。6)單調區(qū)間也可以從圖上看出.

  (五)板書設計

  1.定義域

  2.值域

  3.最值

  4.正負區(qū)間

  5.零點

  例1

  例2

  例3

  課堂練習

  課后思考題:求函數(shù) 的最大值和最小值及取最值時的 集合

  提示:

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