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2016年邵陽市中考數(shù)學(xué)試題及答案
經(jīng)過三年的學(xué)習(xí)，就是為了沖刺中考，考上一個好的高中。下面百分網(wǎng)小編為大家?guī)硪环?016年邵陽市中考的數(shù)學(xué)試題及答案，希望能對大家有幫助，更多內(nèi)容歡迎關(guān)注應(yīng)屆畢業(yè)生網(wǎng)!
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分
1.﹣ 的相反數(shù)是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣2
2.下面四個手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.如圖所示，直線AB、CD被直線EF所截，若AB∥CD，∠1=100°，則∠2的大小是( )
A.10° B.50° C.80° D.100°
4.在學(xué)校演講比賽中，10名選手的成績統(tǒng)計圖如圖所示，則這10名選手成績的眾數(shù)是( )
A.95 B.90 C.85 D.80
5.一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象不經(jīng)過的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.分式方程 = 的解是( )
A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.x=3
7.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是( )
A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根
8.如圖所示，點D是△ABC的邊AC上一點(不含端點)，AD=BD，則下列結(jié)論正確的是( )
A.AC>BC B.AC=BC C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC
9.如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD=30°，則∠DBA的大小是( )
A.15° B.30° C.60° D.75°
10.如圖所示，下列各三角形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，最后一個三角形中y與n之間的關(guān)系是( )
A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1
二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分
11.將多項式m3﹣mn2因式分解的結(jié)果是 .
12.學(xué)校射擊隊計劃從甲、乙兩人中選拔一人參加運動會射擊比賽，在選拔過程中，每人射擊10次，計算他們的平均成績及方差如下表：
選手 甲 乙
平均數(shù)(環(huán)) 9.5 9.5
方差 0.035 0.015
請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)選一人參加比賽，最適合的人選是 .
13.將等邊△CBA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三點在同一直線上，如圖所示，則∠α的大小是 .
14.已知反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象如圖所示，則k的值可能是 (寫一個即可).
15.不等式組 的解集是 .
16.2015年7月，第四十五屆“世界超級計算機(jī)500強排行榜”榜單發(fā)布，我國國防科技大學(xué)研制的“天河二號”以每秒3386×1013次的浮點運算速度第五次蟬聯(lián)冠軍，若將3386×1013用科學(xué)記數(shù)法表示成a×10n的形式，則n的值是 .
17.如圖所示，四邊形ABCD的對角線相交于點O，若AB∥CD，請?zhí)砑右粋�條件 (寫一個即可)，使四邊形ABCD是平行四邊形.
18.如圖所示，在3×3的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，點O，A，B均為格點，則扇形OAB的面積大小是 .
三、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分
19.計算：(﹣2)2+2cos60°﹣( )0.
20.先化簡，再求值：(m﹣n)2﹣m(m﹣2n)，其中m= ，n= .
21.如圖所示，點E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF=DE，求證：AE=CF.
四、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分
22.如圖為放置在水平桌面上的臺燈的平面示意圖，燈臂AO長為40cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°.由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺燈照亮水平面的寬度BC(不考慮其他因素，結(jié)果精確到0.1cm.溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ).
23.為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的目標(biāo)，某校計劃為學(xué)校足球隊購買一批足球，已知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元;購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元.
(1)求A，B兩種品牌的足球的單價.
(2)求該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用.
24.為了解市民對全市創(chuàng)衛(wèi)工作的滿意程度，某中學(xué)教學(xué)興趣小組在全市甲、乙兩個區(qū)內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，將調(diào)查結(jié)果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合圖中信息，解決下列問題：
(1)求此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù).
(2)求此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù).
(3)興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為不滿意的4位市民中隨機(jī)選擇2為進(jìn)行回訪，已知4為市民中有2位來自甲區(qū)，另2位來自乙區(qū)，請用列表或用畫樹狀圖的方法求出選擇的市民均來自甲區(qū)的概率.
五、綜合題：本大題共2小題，其中25題8分，26題10分，共18分
25.尤秀同學(xué)遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.
求證：a2+b2=5c2
該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：
先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故 ，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證
(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程.
(2)利用題中的結(jié)論，解答下列問題：
在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值.
26.已知拋物線y=ax2﹣4a(a>0)與x軸相交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，點P是拋物線上一點，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示.
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)點M(m，n)為拋物線上的一個動點，且在曲線PA上移動.
�、佼�(dāng)點M在曲線PB之間(含端點)移動時，是否存在點M使△APM的面積為 ?若存在，求點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
�、诋�(dāng)點M在曲線BA之間(含端點)移動時，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標(biāo).
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分
1.﹣ 的相反數(shù)是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣2
【考點】實數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)解答.
【解答】解：﹣ 的相反數(shù)是 .
故選A.
2.下面四個手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】分別根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的性質(zhì)對各選項進(jìn)行逐一分析即可.
【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;
B、是中心對稱圖形，故本選項錯誤;
C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;
D、是軸對稱圖形，故本選項正確.
故選D.
3.如圖所示，直線AB、CD被直線EF所截，若AB∥CD，∠1=100°，則∠2的大小是( )
A.10° B.50° C.80° D.100°
【考點】平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠1=100°，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵AB∥CD，∠3=∠1=100°，
∴∠2=180°﹣∠3=80°，
故選C.
4.在學(xué)校演講比賽中，10名選手的成績統(tǒng)計圖如圖所示，則這10名選手成績的眾數(shù)是( )
A.95 B.90 C.85 D.80
【考點】眾數(shù);折線統(tǒng)計圖.
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義和給出的數(shù)據(jù)可直接得出答案.
【解答】解：根據(jù)折線統(tǒng)計圖可得：
90分的人數(shù)有5個，人數(shù)最多，則眾數(shù)是90;
故選B.
5.一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象不經(jīng)過的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】一次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)確定函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，由此即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵一次函數(shù)y=﹣x+2中k=﹣1<0，b=2>0，
∴該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限.
故選C.
6.分式方程 = 的解是( )
A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.x=3
【考點】分式方程的解.
【分析】觀察可得最簡公分母是x(x+1)，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.
【解答】解：兩邊都乘以x(x+1)得：3(x+1)=4x，
去括號，得：3x+3=4x，
移項、合并，得：x=3，
經(jīng)檢驗x=3是原分式方程的解，
故選：D.
7.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是( )
A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根
【考點】根的判別式.
【分析】代入數(shù)據(jù)求出根的判別式△=b2﹣4ac的值，根據(jù)△的正負(fù)即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×1=1>0，
∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根.
故選B.
8.如圖所示，點D是△ABC的邊AC上一點(不含端點)，AD=BD，則下列結(jié)論正確的是( )
A.AC>BC B.AC=BC C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC
【考點】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，由AD=BD得到∠A=∠ABD，所以∠ABC>∠A，則對各C、D選項進(jìn)行判斷;根據(jù)大邊對大角可對A、B進(jìn)行判斷.
【解答】解：∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠ABC>∠A，所以C選項和D選項錯誤;
∴AC>BC，所以A選項正確;B選項錯誤.
故選A.
9.如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD=30°，則∠DBA的大小是( )
A.15° B.30° C.60° D.75°
【考點】切線的性質(zhì);圓周角定理.
【分析】首先連接OD，由CA，CD是⊙O的切線，∠ACD=30°，即可求得∠AOD的度數(shù)，又由OB=OD，即可求得答案.
【解答】解：連接OD，
∵CA，CD是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
∴∠OAC=∠ODC=90°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，
∵OB=OD，
∴∠DBA=∠ODB= ∠AOD=75°.
故選D.
10.如圖所示，下列各三角形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，最后一個三角形中y與n之間的關(guān)系是( )
A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1
【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
【分析】由題意可得下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：n+2n，繼而求得答案.
【解答】解：∵觀察可知：左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：1，2，…，n，
右邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：2，22，…，2n，
下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：1+2，2+22，…，n+2n，
∴y=2n+n.
故選B.
二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分
11.將多項式m3﹣mn2因式分解的結(jié)果是 m(m+n)(m﹣n) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可.
【解答】解：原式=m(m2﹣n2)=m(m+n)(m﹣n).
故答案為：m(m+n)(m﹣n)
12.學(xué)校射擊隊計劃從甲、乙兩人中選拔一人參加運動會射擊比賽，在選拔過程中，每人射擊10次，計算他們的平均成績及方差如下表：
選手 甲 乙
平均數(shù)(環(huán)) 9.5 9.5
方差 0.035 0.015
請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)選一人參加比賽，最適合的人選是 乙 .
【考點】方差;算術(shù)平均數(shù).
【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.
【解答】解：因為S甲2=0.035>S乙2=0.015，方差小的為乙，
所以本題中成績比較穩(wěn)定的是乙.
故答案為乙.
13.將等邊△CBA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三點在同一直線上，如圖所示，則∠α的大小是 120° .
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解答即可.
【解答】解：∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵等邊△CBA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三點在同一直線上，
∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，
∴∠ACB'=60°，
∴∠α=60°+60°=120°，
故答案為：120°.
14.已知反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象如圖所示，則k的值可能是 ﹣1 (寫一個即可).
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到k<0，然后在此范圍內(nèi)取一個值即可.
【解答】解：∵雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，
∴k<0，
∴k可取﹣1.
故答案為﹣1.
15.不等式組 的解集是 ﹣2
【考點】解一元一次不等式組.
【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.
【解答】解： ，
由①得，x≤1，
由②得，x>﹣2，
故不等式組的解集為：﹣2
故答案為：﹣2
16.2015年7月，第四十五屆“世界超級計算機(jī)500強排行榜”榜單發(fā)布，我國國防科技大學(xué)研制的“天河二號”以每秒3386×1013次的浮點運算速度第五次蟬聯(lián)冠軍，若將3386×1013用科學(xué)記數(shù)法表示成a×10n的形式，則n的值是 16 .
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】直接利用科學(xué)記數(shù)法的表示方法分析得出n的值.
【解答】解：3386×1013=3.386×1016，
則n=16.
故答案為：16.
17.如圖所示，四邊形ABCD的對角線相交于點O，若AB∥CD，請?zhí)砑右粋�條件 AD∥BC (寫一個即可)，使四邊形ABCD是平行四邊形.
【考點】平行四邊形的判定.
【分析】根據(jù)平行四邊形的定義或判定定理即可解答.
【解答】解：可以添加：AD∥BC(答案不唯一).
故答案是：AD∥BC.
18.如圖所示，在3×3的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，點O，A，B均為格點，則扇形OAB的面積大小是 .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】根據(jù)題意知，該扇形的圓心角是90°.根據(jù)勾股定理可以求得OA=OB= ，由扇形面積公式可得出結(jié)論.
【解答】解：∵每個小方格都是邊長為1的正方形，
∴OA=OB= = ，
∴S扇形OAB= = = .
故答案為： .
三、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分
19.計算：(﹣2)2+2cos60°﹣( )0.
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】原式利用乘方的意義，特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=4+2× ﹣1
=4+1﹣1
=4.
20.先化簡，再求值：(m﹣n)2﹣m(m﹣2n)，其中m= ，n= .
【考點】整式的混合運算—化簡求值.
【分析】原式利用完全平方公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把m與n的值代入計算即可求出值.
【解答】解：原式=m2﹣2mn+n2﹣m2+2mn=n2，
當(dāng)n= 時，原式=2.
21.如圖所示，點E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF=DE，求證：AE=CF.
【考點】平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDA=∠FBC，再加上條件ED=BF可利用SAS判定△AED≌△CFB，進(jìn)而可得AE=CF.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EDA=∠FBC，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB(SAS)，
∴AE=CF.
四、解答題：本大題共3小題，每小題8分，共24分
22.如圖為放置在水平桌面上的臺燈的平面示意圖，燈臂AO長為40cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°.由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺燈照亮水平面的寬度BC(不考慮其他因素，結(jié)果精確到0.1cm.溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ).
【考點】解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)sin75°= = ，求出OC的長，根據(jù)tan30°= ，再求出BC的長，即可求解.
【解答】解：在直角三角形ACO中，sin75°= = ≈0.97，
解得OC≈38.8，
在直角三角形BCO中，tan30°= = ≈ ，
解得BC≈67.3.
答：該臺燈照亮水平面的寬度BC大約是67.3cm.
23.為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的目標(biāo)，某校計劃為學(xué)校足球隊購買一批足球，已知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元;購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元.
(1)求A，B兩種品牌的足球的單價.
(2)求該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用.
【考點】二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需y元，根據(jù)“購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元;購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元”列出方程組并解答;
(2)把(1)中的數(shù)據(jù)代入求值即可.
【解答】解：(1)設(shè)一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需y元，
依題意得： ，
解得 .
答：一個A品牌的足球需90元，則一個B品牌的足球需100元;
(2)依題意得：20×90+2×100=1900(元).
答：該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用是1900元.
24.為了解市民對全市創(chuàng)衛(wèi)工作的滿意程度，某中學(xué)教學(xué)興趣小組在全市甲、乙兩個區(qū)內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，將調(diào)查結(jié)果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合圖中信息，解決下列問題：
(1)求此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù).
(2)求此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù).
(3)興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為不滿意的4位市民中隨機(jī)選擇2為進(jìn)行回訪，已知4為市民中有2位來自甲區(qū)，另2位來自乙區(qū)，請用列表或用畫樹狀圖的方法求出選擇的市民均來自甲區(qū)的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統(tǒng)計圖;條形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)由滿意的有20人，占40%，即可求得此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù).
(2)由(1)，即可求得此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù).
(3)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選擇的市民均來自甲區(qū)的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)∵滿意的有20人，占40%，
∴此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)：20÷40%=50(人);
(2)此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù)為：50﹣4﹣8﹣20=18(人);
(3)畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，選擇的市民均來自甲區(qū)的有2種情況，
∴選擇的市民均來自甲區(qū)的概率為： = .
五、綜合題：本大題共2小題，其中25題8分，26題10分，共18分
25.尤秀同學(xué)遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.
求證：a2+b2=5c2
該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：
先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故 ，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證
(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程.
(2)利用題中的結(jié)論，解答下列問題：
在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E， F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值.
【考點】相似三角形的判定;三角形中位線定理.
【分析】(1)設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，EF= c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據(jù)勾股定理得到n2+4m2= b2，m2+4n2= a2，則5(n2+m2)= (a2+b2)，而n2+m2=EF2= c2，所以a2+b2=5c2;
(2)利用(1)的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據(jù)平行線分線段長比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG2+MH2=5.
【解答】解：(1)設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，
∵AF，BE是△ABC的中線，
∴EF為△ABC的中位線，AE= b，BF= a，
∴EF∥AB，EF= c，
∴△EFP∽△BPA，
∴ ，即 = = ，
∴PB=2n，PA=2m，
在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，
∴n2+4m2= b2①，
在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2，
∴m2+4n2= a2②，
�、�+②得5(n2+m2)= (a2+b2)，
在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，
∴n2+m2=EF2= c2，
∴5• c2= (a2+b2)，
∴a2+b2=5c2;
(2)∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點，
由(1)的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，
∵AG∥BC，
∴△AEG∽△CEB，
∴ = = ，
∴AG=1，
同理可得DH=1，
∴GH=1，
∴GH∥BC，
∴ = = = ，
∴MB=3GM，MC=3MH，
∴9MG2+9MH2=45，
∴MG2+MH2=5.
26.已知拋物線y=ax2﹣4a(a>0)與x軸相交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，點P是拋物線上一點，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示.
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)點M(m，n)為拋物線上的一個動點，且在曲線PA上移動.
①當(dāng)點M在曲線PB之間(含端點)移動時，是否存在點M使△APM的面積為 ?若存在，求點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
�、诋�(dāng)點M在曲線BA之間(含端點)移動時，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標(biāo).
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)先求出A、B兩點坐標(biāo)，然后過點P作PC⊥x軸于點C，根據(jù)∠PBA=120°，PB=AB，分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標(biāo)，最后將點P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即;
(2)①過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，分別用含m的式子表示點D、M的坐標(biāo)，然后代入△APM的面積公式 DM•AC，根據(jù)題意列出方程求出m的值;
�、诟鶕�(jù)題意可知：n<0，然后對m的值進(jìn)行分類討論，當(dāng)﹣2≤m≤0時，|m|=﹣m;當(dāng)0
【解答】解：(1)如圖1，令y=0代入y=ax2﹣4a，
∴0=ax2﹣4a，
∵a>0，
∴x2﹣4=0，
∴x=±2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)，
∴AB=4，
過點P作PC⊥x軸于點C，
∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，
∵PB=AB=4，
∴cos∠PBC= ，
∴BC=2，
由勾股定理可求得：PC=2 ，
∵OC=OC+BC=4，
∴P(4，2 )，
把P(4，2 )代入y=ax2﹣4a，
∴2 =16a﹣4a，
∴a= ，
∴拋物線解析式為;y= x2﹣ ;
(2)∵點M在拋物線上，
∴n= m2﹣ ，
∴M的坐標(biāo)為(m， m2﹣ )，
�、佼�(dāng)點M在曲線PB之間(含端點)移動時，
∴2≤m≤4，
如圖2，過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
把A(﹣2，0)與P(4，2 )代入y=kx+b，
得： ，
解得
∴直線AP的解析式為：y= x+ ，
令x=m代入y= x+ ，
∴y= m+ ，
∴D的坐標(biāo)為(m， m+ )，
∴DM=( m+ )﹣( m2﹣ )=﹣ m2+ m+ ，
∴S△APM= DM•AE+ DM•CE
= DM(AE+CE)
= DM•AC
=﹣ m2+ m+4
當(dāng)S△APM= 時，
∴ =﹣ m2+ m+4 ，
∴解得m=3或m=﹣1，
∵2≤m≤4，
∴m=3，
此時，M的坐標(biāo)為(3， );
�、诋�(dāng)點M在曲線BA之間(含端點)移動時，
∴﹣2≤m≤2，n<0，
當(dāng)﹣2≤m≤0時，
∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ (m+ )2+ ，
當(dāng)m=﹣ 時，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，
此時，M的坐標(biāo)為(﹣ ，﹣ )，
當(dāng)0
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ (m﹣ )2+ ，
當(dāng)m= 時，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，
此時，M的坐標(biāo)為( ，﹣ )，
綜上所述，當(dāng)點M在曲線BA之間(含端點)移動時，M的坐標(biāo)為( ，﹣ )或(﹣ ，﹣ )時，|m|+|n|的最大值為 .
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