考研數(shù)學(xué)沖刺矩陣相似對(duì)角化要點(diǎn)及技巧
在考研數(shù)學(xué)中，矩陣相似對(duì)角化是每年考察的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)于各位考研人來(lái)說(shuō)尤其要注意把握。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)沖刺矩陣相似對(duì)角化復(fù)習(xí)要點(diǎn)和秘訣，歡迎大家前來(lái)閱讀。
考研數(shù)學(xué)沖刺矩陣相似對(duì)角化重點(diǎn)和方法
★一般方陣的相似對(duì)角化理論
這里要求掌握一般矩陣相似對(duì)角化的條件，會(huì)判斷給定的矩陣是否可以相似對(duì)角化，另外還要會(huì)矩陣相似對(duì)角化的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)求可逆陣以及對(duì)角陣。事實(shí)上，矩陣相似對(duì)角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計(jì)算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。
1、判斷方陣是否可相似對(duì)角化的條件：
(1)充要條件：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;
(2)充要條件的另一種形式：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An的k重特征值滿足n-r(λE-A)=k
(3)充分條件：如果An的n個(gè)特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對(duì)角化;
(4)充分條件：如果An是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么An一定可以相似對(duì)角化。
【注】分析方陣是否可以相似對(duì)角化，關(guān)鍵是看線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)，而求特征向量之前，必須先求出特征值。
2、求方陣的特征值：
(1)具體矩陣的特征值：
這里的難點(diǎn)在于特征行列式的計(jì)算：方法是先利用行列式的性質(zhì)在行列式中制造出兩個(gè)0，然后利用行列式的展開(kāi)定理計(jì)算;
(2)抽象矩陣的特征值：
抽象矩陣的特征值，往往要根據(jù)題中條件構(gòu)造特征值的定義式來(lái)求，靈活性較大。
★實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化理論
其實(shí)質(zhì)還是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化外，還要掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到這些考點(diǎn)的。
這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，即給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對(duì)角陣;也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A;另外由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。
最重要的是，掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化就相當(dāng)于解決了實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題。
1、掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)
(1)不同特征值的特征向量一定正交
(2)k重特征值一定滿足滿足n-r(λE-A)=k
【注】由性質(zhì)(2)可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化;且有(1)可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以正交相似對(duì)角化。
2、會(huì)求把對(duì)稱矩陣正交相似化的正交矩陣
【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對(duì)同一個(gè)特征值求出的基礎(chǔ)解系進(jìn)行正交化，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交(當(dāng)然除非你計(jì)算出錯(cuò)了會(huì)發(fā)現(xiàn)不正交)。
3、實(shí)對(duì)稱矩陣的特殊考點(diǎn)：
實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化，利用這個(gè)性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：
(1)實(shí)對(duì)稱矩陣的秩等于非零特征值的個(gè)數(shù)
這個(gè)結(jié)論只對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣成立，不要錯(cuò)誤地使用。
(2)兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，如果特征值相同，一定相似
同樣地，對(duì)于一般矩陣，這個(gè)結(jié)論也是不成立的。
4、實(shí)對(duì)稱矩陣在二次型中的應(yīng)用
使用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型使用的方法本質(zhì)上就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。
考研數(shù)學(xué)綜合題解題切入點(diǎn)
一、做典型題，培養(yǎng)解題思路
典型題可以理解為基礎(chǔ)題以和�？碱}型。做這種題時(shí)考生要積極主動(dòng)思考，不能只是為了做題而做題。要在做題的基礎(chǔ)上更深入地理解、掌握知識(shí)，所學(xué)的知識(shí)才能變成自己的知識(shí)，這樣才能使自己具有獨(dú)立的解題能力。
例如線性代數(shù)的計(jì)算量比較大，但純計(jì)算的題目比較少，一般都是證明中帶有計(jì)算，抽象中夾帶計(jì)算。這就要求考生在做題時(shí)要注意證明題的邏輯嚴(yán)緊性，掌握知識(shí)點(diǎn)在證明結(jié)論時(shí)的基本使用方法，雖然線性代數(shù)的考試可以考的很靈活，但這些基本知識(shí)點(diǎn)的使用方法卻比較固定，只要熟練掌握各種拼接方式即可。
盡管試題千變?nèi)f化，但其知識(shí)結(jié)構(gòu)基本相同，題型相對(duì)固定，這就需要考生在研究真題和做模擬題時(shí)提煉題型。提練題型的目的，是為了提高解題的針對(duì)性，形成思維定勢(shì)，進(jìn)而提高考生解題的速度和準(zhǔn)確性。
二、找切入點(diǎn)，理清知識(shí)脈絡(luò)
考生們?cè)诮饩C合題時(shí)，最關(guān)鍵的一步是找到解題的切入點(diǎn)。所以大家需要對(duì)解題思路很熟悉，能夠看出題目與復(fù)習(xí)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)、題型之間存在的聯(lián)系。在考研復(fù)習(xí)中要對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行重組，理清知識(shí)脈絡(luò)，應(yīng)用起來(lái)更加得心應(yīng)手。
解應(yīng)用題的一般步驟都是認(rèn)真理解題意，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將其化為某數(shù)學(xué)問(wèn)題求解。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般要用到幾何知識(shí)、物理力學(xué)知識(shí)和經(jīng)濟(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)等。
三、選常規(guī)題，珍惜復(fù)習(xí)時(shí)間
對(duì)于比較偏門(mén)和奇怪的試題，建議大家不要花太多的時(shí)間。同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中做好分析好考研數(shù)學(xué)的常規(guī)題目便已足夠。研究生考試不是數(shù)學(xué)競(jìng)賽，出現(xiàn)偏門(mén)和怪題的情況微乎其微，因此完全沒(méi)必要浪費(fèi)時(shí)間。
考研復(fù)習(xí)中，遇到比較難的題目，自己獨(dú)立解決確實(shí)能提高能力。但復(fù)習(xí)時(shí)間畢竟有限，在確定思考不出結(jié)果時(shí)，要及時(shí)尋求幫助。一定要避免一時(shí)性起，盯住一個(gè)題目做大半天的沖動(dòng)。
考研數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)分析
高等數(shù)學(xué)
1.函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在，連續(xù)，可導(dǎo)，可微之間關(guān)系。對(duì)于一元函數(shù)函數(shù)連續(xù)是函數(shù)極限存在的充分條件。若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必有極限。若函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)不一定無(wú)極限。若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。但是如果函數(shù)不可導(dǎo)，不能推出函數(shù)在該點(diǎn)一定不連續(xù)，可導(dǎo)與可微等價(jià)。而對(duì)于二元函數(shù)，只能又可微推連續(xù)和可導(dǎo)(偏導(dǎo)都存在)，其余都不成立。
2.基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。
3.極值點(diǎn)，拐點(diǎn)。駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系：在一元函數(shù)中，駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，而函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。注意極值點(diǎn)和拐點(diǎn)的定義一充、二充、和必要條件。
4.夾逼定理和用定積分定義求極限。這兩種方法都可以用來(lái)求和式極限，注意方法的選擇。還有夾逼定理的應(yīng)用，特別是無(wú)窮小量與有界量之積仍是無(wú)窮小量。
5.可導(dǎo)是對(duì)定義域內(nèi)的點(diǎn)而言的，處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù)，只要一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)不可導(dǎo)，那么就不存在導(dǎo)函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導(dǎo)。
6.泰勒中值定理的應(yīng)用，可用于計(jì)算極限以及證明。
7.比較積分的'大小。定積分比較定理的應(yīng)用(常用畫(huà)圖法)，多重積分的比較，特別注意第二類曲線積分，曲面積分不可直接比較大小。
8.抽象型的多元函數(shù)求導(dǎo)，反函數(shù)求導(dǎo)(高階)，參數(shù)方程的二階導(dǎo)，以及與變限積分函數(shù)結(jié)合的求導(dǎo)
9.廣義積分和級(jí)數(shù)的斂散性的判斷。
10.介值定理和零點(diǎn)定理的應(yīng)用。關(guān)鍵在于觀察和變換所要證明等式的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)。
11.保號(hào)性。極限的性質(zhì)中最重要的就是保號(hào)性，注意保號(hào)性的兩種形式以及成立的條件。
12.第二類曲線積分和第二類曲面積分。在求解的過(guò)程中一般會(huì)使用格林公式和高斯公式，大部分同學(xué)都會(huì)把精力關(guān)注在是否閉合，偏導(dǎo)是否連續(xù)上，而忘記了第三個(gè)條件——方向，要引起注意。
線性代數(shù)
1、行列式的計(jì)算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是線代的工具，判定系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組解的情況及特征值的計(jì)算都會(huì)用到行列式的計(jì)算，故要引起重視。
2、矩陣的變換。矩陣是線代的研究對(duì)象，線性方程組、特征值與特征向量、相似對(duì)角化，二次型，其實(shí)都是在研究矩陣。一定要注意在化階梯型時(shí)只能對(duì)矩陣做行變換，不可做列變換變換。
3、向量和秩。向量和秩比較抽象，也是線代學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，研究線性方程組解的情況其實(shí)就是在研究系數(shù)矩陣的秩，也是在研究把系數(shù)矩陣按列分塊得到的向量組的秩。
4、線性方程組的解。線性方程組是每年的必看知識(shí)點(diǎn)，要熟練掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，核心是理解基礎(chǔ)解系，要能夠掌握具體方程組的數(shù)列方法，更要能熟練解決抽象型方程組，一般會(huì)轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣的秩或者基礎(chǔ)解，然后解決問(wèn)題。
5、特征值與特征向量。特征值與特征向量起到承前啟后的作用，一特征值對(duì)應(yīng)的特征向量其實(shí)就是其對(duì)應(yīng)矩陣作為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其重要應(yīng)用就是相似對(duì)角化及正交相似對(duì)角化，是后面二次型的基礎(chǔ)。
6、相似對(duì)角化，包括相似對(duì)角化及正交相似對(duì)角化。要會(huì)判斷是否可以相似對(duì)角化，及正交相似對(duì)角化時(shí)，怎么施密特正交化和單位化。
7、二次型。二次型是線代的一個(gè)綜合型章節(jié)，會(huì)用到前面的很多知識(shí)。要熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，二次型正定的判定，及慣性指數(shù)。
8、矩陣等價(jià)及向量組等價(jià)的充要條件，矩陣等價(jià)，相似，合同的條件。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)
1、非等可能 與 等可能。若一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有N個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，則每一個(gè)基本事件的概率都是1/N;若其中某個(gè)事件A包含的結(jié)果有M個(gè)，則事件A的概率為M/N。
2、互斥與對(duì)立 對(duì)立一定互斥，但互斥不一定對(duì)立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B對(duì)立，則滿足(1)A∩B=空集;(2)P(A+B)=1。
3、互斥與獨(dú)立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B);概率為0或者1的事件與任何事件都獨(dú)立
4、排列與組合。排列與順序有關(guān)，組合與順序無(wú)關(guān)，同類相乘有序，不同類相乘無(wú)序。
5、不可能事件與概率為零的隨機(jī)事件。 不可能事件的概率一定為零,但概率為零的隨機(jī)事件不一定是不可能事件，如連續(xù)型隨機(jī)變量在任何一點(diǎn)的概率都為0。
6、必然事件與概率為1的事件。必然事件的概率一定為1，但概率為1的隨機(jī)事件不一定是必然事件。對(duì)于一般情形，由P(A)=P(B)同樣不能推得隨機(jī)事件A等于隨機(jī)事件B。
7、條件概率。P(A|B)表示事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率。若“B是A的子集”，則P(A|B)=1，但P(B|A)=P(B)是不對(duì)的，只有當(dāng)P(A)=1時(shí)才成立。在求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度函數(shù)時(shí)，一定是在邊緣概率密度函數(shù)大于零時(shí)，才可使用“條件=聯(lián)合/邊緣”;反過(guò)來(lái)用此公式求聯(lián)合概率密度函數(shù)時(shí)，也要保證邊緣概率密度函數(shù)大于零。
8、隨機(jī)變量概率密度函數(shù)。對(duì)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量，用分布函數(shù)法，先討論概率為0和1的區(qū)間，然后反解，再討論，最后求導(dǎo)。對(duì)于二維隨機(jī)變量，若是連續(xù)型和離散型，用全概率公式，若是連續(xù)型和連續(xù)型同樣用分布函數(shù)法，若隨機(jī)變量是Z=X+Y型，用卷積公式。
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